Da du die Funktion mit "k" nur auf der y-Achse in positiver und negativer Richtung verschiebst, gibt es verschiedene Wertemengen von "k", in denen die Funktion 3.Grades einen, zwei, oder sogar drei Schnittpunkte mit der x-Achse hat.

für k < (-4) und 0 < k Hat die Funktion je eine Nullstelle (nicht die gleiche Nullstelle)
für k = -4 und k = 0 Hat die Funktion zwei Nullstellen (Die Extremstellen der Funktion Tangieren die x-Achse)
für -4 < k < 0 Hat die Funktion drei Nullstellen

Für die einzelnen Bereiche kannst du dann glaub ich auch die Nullstellen in abhängigkeit von k bestimmen.
x(k) = ...

du kannst nur für k=0 ein x  ausklammern, sonst gibt es keine analytische Lösungsmöglichkeit. für verschiedende Werte von k lassen sich vll. Ratelösungen finden. Hast du einen GTR zur Verfügung? da könnte man für verschiedene Parameter zeichnen lassen und so allg. Eigenschaften  der Nullstellen herausfinden. y-Achsen schnittpunkt ist einfacher ;)