Signatur der Bilinearform

Aufrufe: 224     Aktiv: 08.07.2023 um 20:34

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Hallo zusammen,
ich verstehe nicht ganz wie man die Signatur berechnet. 

Wenn ich eine Bilinearform gegeben habe, kann ich die Koordinatenmatrix ablesen und somit habe ich eine Matrix. 
Ich weiss, dass ich die Signatur mit Hilfe von Sylvester bestimmen kann. Aber dafür brauche ich eine Matrix nur mit 1, -1 und 0 auf der Diagonalen. Wie erreiche ich diese matrix? 

Meine Vermutung/ Idee - ist sie richtig? 
Die Eigenwerte der korrdinatenmatrix zu bestimmen, diese in einer Diagonalmatrix notieren, vereinfachen und ablesen.

Beispiel Aufgabe: 
Mf,B,B = (1,1,0)   hat EW : 0, -2, 2
               (1,1,0)
               (0,0,-2)
D = (2,0,0)     => (1,0,0)      => Sigantur = (1,1) 
       (0,-2.0)         (0,-1,0)
       (0,0,0)           (0,0,0)
Ist das richtig so? 

Frage Nr2 ? Kann man die Signatur mithilfe der OGB bestimmen?

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Die Signatur kann man direkt von den Eigenwerten ablesen, nämlich der Anzahl der pos./neg./null-EWe. Da muss man gar nicht mehr mit einer Diagonalmatrix hantieren, sondern erkennt sofort (1,1,0). Steht alles bei wikipedia.
Bez. einer Orthogonalbasis hat die Darstellungsmatrix der Bilinearform ja Diagonalgestalt, so dass man auch dort sofort die EWe ablesen kann.
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