Untegruppen von D4

Aufrufe: 70     Aktiv: 24.09.2021 um 16:36

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Ich soll alle Untergruppen der Deckabbildunges des Quadrats (D4) finden.
Die Deckabbildungen sind: id (Identität), d1 (Drehung um 90°), d2 (Drehung um 180°), d3 (Drehung um 270 °), s1 (Spiegelung an Achse 1), s2 und s3

Ich habe nun die trivialen Untergruppen U=M und U = {id} gefunden. Außerdem gibt es U = {id, d1, d2, d3}, U = {id, d1}, U = {id, d2}, U = {id, d3}, U = {id, s1}, U = {id, s2}, U = {id, s3}.

Diese Gruppen sind entstanden, indem ich verschiedene Deckabbildungen miteinander verknüpft habe. Ich bin zu dem Schluss gekommen, dass es die Untergruppen sind, weil U immer Teilmenge von D4 ist und  Abgeschlossenheit in den Untergruppen besteht und jedes Element ein inverses hat. Außerdem sind die Ordnungen der Untergruppen alle Teiler der Ordnung von D4.

Stimmt das so und habe ich wirklich alle Untergruppen gefunden?
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Hallo,

zuerst einmal fehlt dir eine Spiegelung. Man kann an den beiden Diagonalen spiegeln und man kann an der x- und y-Achse spiegeln. 

Dann ist die Untergruppe $U=\{\mathrm{id} , d_1\}$ nicht abgeschlossen, denn $d_1 \circ d_1 = d_2$. 

Es gibt dann auf jeden Fall noch eine Untergruppe aus allen Spiegelungen. Und es gibt noch 2 Kombinationen aus Spiegelungen und Drehungen. Ich meine das müssten dann alle sein. Findest du die?

Grüße Christian
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Vielen Dank! Aber die Untergruppe, die aus allen Spiegelungen entsteht und die UG die aus Kombinationen aus Spiegelungen und Drehungen entstehen sind dann doch wieder U=M, also immer die triviale Untergruppe, die die das ganze M enthält, oder?   ─   usera70f42 23.09.2021 um 13:13

Oh, ja da hast du Recht. Die können wir also weglassen.
Aber mir fallen trotzdem noch zwei Untergruppen ein mit 2 Spiegelungen und einer Drehung.
Was passiert wenn wir zuerst an der x-Achse und dann an der y-Achse spiegeln?
  ─   christian_strack 23.09.2021 um 16:30

Dann ensteht eine Drehung um 180 °, also d2. Insgesamt sind dann in der Untergruppe U = {d0, d2, s1, s3} enthalten. Ich habe nun noch herumprobiert und bin darauf gekommen, dass es noch eine Gruppe aus den zwei Spiegelungen an den Diagonalen und der Drehung um 180 ° geben müsste, in dieser Gruppe wären dann U = {d0, d2, s2, s4}. Aber wie kann ich mir jetzt sicher sein, dass ich alle Gruppen gefunden habe bzw. wie könnte ich das begründen, dass dies alle Untergruppen sind?   ─   usera70f42 24.09.2021 um 16:36

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