Es gibt hier ganz viele Lösungen, und 500^(2/3) ist nur eine davon. Jedes größere N als diese Zahl würde es auch tun. Es ist ja auch nur "ein N" gefragt, nicht das kleinste, das die Forderung erfüllt.
Diese Vorüberlegungen führen Dich zu der Erkenntnis, dass hier nicht zwingend nach "Umstellen nach n" gefragt ist.
Vorgehen also: den Ausdruck erstmal umschreiben (wie für den Grenzwert auch schon), dann nach oben abschätzen (Merkregel: ein (positiver) Bruch wird größer, wenn der Zähler größer oder der Nenner kleiner wird). Diesen dann einfacheren Ausdruck dann kleiner 0.001 setzen und nach n umstellen. Mit der einfachsten Variante kommt dann sogar die angegebene Lösung raus.
Aber wie gesagt, 500, 1000, 500^(3/4) sind auch richtige Lösungen.