Sind die beiden folgenden Aussagen äquivalent?

Aufrufe: 606     Aktiv: 25.01.2021 um 21:01

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Hallo Forum,

mal wieder eine Frage zur Aussagenlogik; 

 

A: f mit f(x)=x 

B: F mit F(x)=0.5xist Stammfunktion von f. 

 

Komischerweise würde ich sagen, dass die beiden Aussagen äquivalent sind, also A⇔B. 

 

Aber es gibt ja beliebig viele andere Stammfunktionen, sodass F'=f... 

Wo ist mein Denkfehler? 

Danke!

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A ist keine Aussage. Meinst Du vielleicht A: \(f\) ist die Ableitung von \(F\)?

In dem Fall sind A und B äquivalent, denn das ist genau die Definition einer Stammfunktion.

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Aber A kann ja wahr sein (f(x)=x) oder falsch (f(x)=5)... Wieso gilt das nicht als Aussage?   ─   handfeger0 25.01.2021 um 19:02

Ok, ja, man kann das so nehmen als Aussage: Es gilt \(f(x)=x\) für alle \(x\). Wäre besser, wenn du das auch sauber als Satz formulierst. Auch dann sind A und B äquivalent, nach Definition der Stammfunktion.   ─   slanack 25.01.2021 um 19:10

Also darf man schreiben: f(x)=x --> F(x)=0.5x^2 ?   ─   handfeger0 25.01.2021 um 19:38

Oder muss dazu: f(x)=x --> F(x)=0.5x^2 ist eine Stammfunktion   ─   handfeger0 25.01.2021 um 19:38

Nein. Es folgt nur: Dieses spezielle \(F\) ist eine Stammfunktion, also die Aussage B.   ─   slanack 25.01.2021 um 19:41

Sorry, aber du meinst Version 2 mit "Aussage B"?   ─   handfeger0 25.01.2021 um 19:44

f(x)=x --> F(x)=0.5x^2 würde ja bedeuten: Jede Stammfunktion von \(f\) hat die Form von \(F\), aber das ist nicht wahr.   ─   slanack 25.01.2021 um 19:45

Darum ist nur Deine zweite Version richtig.   ─   slanack 25.01.2021 um 19:47

Also: Aussage zwei von mir ist richtig? :D "Oder muss dazu: f(x)=x --> F(x)=0.5x^2 ist eine Stammfunktion"   ─   handfeger0 25.01.2021 um 19:47

Genau!   ─   slanack 25.01.2021 um 19:48

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Deine Idee war schon richtig. Die Funktion \(0,5x^2+1\) wäre auch eine Stammfunktion von \(f(x)\). Damit kann die "genau dann, ... wenn" Beziehung nicht gelten.

Um zu zeigen, dass diese Beziehung nicht gilt, reicht ja das Widerlegen einer Richtung. Also endtweder\(A\not \Rightarrow B\) oder \(B\not \rightarrow A\). Argumentieren würde ich das mit Widerspruch, dass die Stammfunktion nicht eindeutig sein kann.

 

Hoffe das hilft weiter.

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Lehrer/Professor, Punkte: 8.97K

 

Darf man schreiben: f(x)=x --> F(x)=0.5x^2 !?   ─   handfeger0 25.01.2021 um 19:02

Ich überlege noch zu dem Argument von @slanack ... aber ich dachte es mir so: wenn du annimmst, dass es sich um eine Äquivalenz handelt, kannst du das wie du es meinst schlussfolgern. Dann nimmst du an, dass \(\tilde{F}(x)=0,5x^2+c\) mit \(c\neq 0\) keine Stammfunktion von \(f(x)=x\) ist (wegen der genau dann wenn Beziehung) ... da man aber \(f(x)\) nach dem ableiten von \(\tilde{F}(x)\) erhält, wäre damit \(\tilde{F}(x)\) ja eine Stammfunktion von \(f(x)\) ---> Widerspruch ---> es handelt sich um keine Äquivalenz ... so war mein Gedanke, bin mir aber nach dem Argument von @slanack nicht mehr zu 100% sicher^^   ─   maqu 25.01.2021 um 19:10

Ich denke es ist äquivalent siehe unten ':D   ─   jojoliese 25.01.2021 um 19:12

ja ok :D .... @slanack wenn es dir wieder möglich ist, dann bitte meine Antwort löschen >.<   ─   maqu 25.01.2021 um 19:35

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Maqu wurde bereits informiert.
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Du hast das schon genau richtig erkannt:

Aus B folgt A weil die Ableitung so korrekt ist. Ist \( 0.5 x^{2} \) Stammfunktion von f, so ist \( f(x)=x \).

Und aus A folgt auch B. Denn ist f gleich \( f(x)=x \) so ist \( F \) eine Stammfunktion. Dort steht ja nicht, dass F die einzige Stammfunktion sein soll, sondern nur dass es eine mögliche ist.

Wenn du dir die Definition der Stammfunktion anschaust, so ist diese genau dadurch definiert, dass ihre Ableitung gleich der Funktion selbst ist.

Die Aussagen sind also in dieser Form äquivalent.

 

Viele Grüße, jojoliese

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Student, Punkte: 2.18K

 

Also darf man schreiben: f(x)=x --> F(x)=0.5x^2 ?   ─   handfeger0 25.01.2021 um 19:29

Es ist schon besser zu schreiben "F(x)=0.5x^2 ist (eine) Stammfunktion von f"
An der Stelle schreibst du ja nicht was da genau folgt F(x) kann ja alles sein, eine beliebige Funktion
  ─   jojoliese 25.01.2021 um 19:52

Aber da "EINE" ist ja essentiell - richtig?   ─   handfeger0 25.01.2021 um 19:57

bzw. kann man es weglassen, darf aber nicht schreiben: ... ist DIE Stammfunktion...   ─   handfeger0 25.01.2021 um 19:59

Ja, das darfst du nicht schreiben, dann hättest du keine Äquivalenz mehr, sondern wirklich nur noch die eine Richtung :)   ─   jojoliese 25.01.2021 um 20:13

Eigentlich hätte man ja dann gar keine Richtung mehr?!   ─   handfeger0 25.01.2021 um 20:32

Oder dann nur B-->A   ─   handfeger0 25.01.2021 um 20:32

Doch die eine Richtung gilt noch! f ist ja immer noch die Ableitung von F

Wenn du weißt das B gilt weißt du dass A gilt.

Aber A --> B' mit B': F ist DIE Stammfunktion von f
Wäre nur eine äquivalente Aussage, wenn man A auch noch mehr einschränkt :) zum Beispiel indem man noch eine Anfangsbedienung in Form eines Punktes für die Stammfunktion für f vorgibt
  ─   jojoliese 25.01.2021 um 20:48

Aber kann B überhaupt gelten? F ist ja nicht DIE Stammfunktion...?   ─   handfeger0 25.01.2021 um 20:57

Wenn man noch mehr Bedingungen an die Stammfunktion stellt eben zum Beispiel einen Punkt, dann kann es schon eine eindeutige Stammfunktion geben! Aber das wurde hier ja nicht gemacht :)   ─   jojoliese 25.01.2021 um 21:01

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