Kompaktheit beweisen bei Bildern von Funktionen

Aufrufe: 99     Aktiv: 28.01.2024 um 13:26

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Hallo, ich sollte eine Sache beweisen. Habe ich das so richtig gemacht?

Aufgabe:
Ich sollte beweisen: Sei f: K -> |K eine stetige Funktion, wobei K Teilmenge |K, kompakt ist. Dann gelte auch, das f(K) Teilmenge |K kompakt ist.

Mein Beweis:
K kompakt <=> K abgeschlossen und beschränkt (Definition)
K abgeschlossen <=> Für jeden Häufungspunkt x gilt: x ist in K (Definition)
K beschränkt <=> Es gibt sup(K) und inf(K)

Da K also abgeschlossen und beschränkt ist => sup(K), inf(K) ist in K.

Sei (x_n) aus K eine Folge mit x_n ≠ sup(K) für alle n aus N (natürliche Zahlen) und lim(x_n) = sup(K). Auch (y_n) aus K, sei eine Folge mit y_n ≠ inf(K) für alle n aus N und lim(y_n) = inf(K).
Da f stetig ist nach Voraussetzung, gilt: lim(f(x_n)) = f(sup(K)) und auch lim(f(y_n)) = f(infK), für alle Folgen (f(x_n)) und (f(y_n)) aus f(K). Damit ist f(K) durch f(inf(K)) und f(sup(K)) beschränkt.
Da f stetig ist, also sup(K) und inf(K) aus K, ist auch f(sup(K)) und f(inf(K)) aus f(K). Damit ist f(K) abgeschlossen und beschränkt. Nach Definition also kompakt und das war ja zu zeigen.
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Punkte: 5

 

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Sieht gut aus   ─   fix 27.01.2024 um 15:52

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Beachte und befolge den Hinweis in meiner letzten Antwort. Wir freuen uns über Hilfesuchende, die die Spielregeln (siehe Kodex links) hier ernst nehmen. Dann schaue ich mir gerne Deinen Beweis an.   ─   mikn 27.01.2024 um 15:53

Okay ich hab das jetzt abgehakt   ─   user88de87 27.01.2024 um 17:09

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Als beantwortet abgehakt ist weiterhin nichts. Das ist was anderes als ein upvote. Ist alles in e-mails erklärt. Wird Dir bei jeder Antwort nochmal erklärt.
Zu Deiner Frage hier: Was ist $\mathbb{K}$, die Angabe fehlt.
  ─   mikn 27.01.2024 um 17:12

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Und immer wieder dasselbe mit dem Abhaken, kam mir gleich irgendwie bekannt vor.
Und auch crosspost mit mathelounge. Lies im dortigen FAQ, warum das nicht erwünscht ist. Und handle entsprechend.
  ─   mikn 27.01.2024 um 23:15

Noch zu dem Abhaken:
Da steht andauernd das Gleiche wie auch hier, ich verstehe nicht, was damit gemeint ist. Bei mir sind hier nur diese Dreiecke, die ich dann eben antippe.
  ─   user88de87 28.01.2024 um 01:28

1. Was ist |K:
|K ist ein Körper
K ist eine Menge
Beides sind verschieden

2. Crosspost:
Ich brauche eben eine rasche Antwort und da ich hier keime bekam, finde ich es nicht schlimm, das ich am Ende woanders mein Glück versuche. Zweitens verstehe ich den Fehler daran nicht, Die Mathematik ist eine sehr vielfältige Wissenschaft und da kann man doch gerne mal mehrere Meinungen von mehreren Experten sich anhören lassen, finde ich
  ─   user88de87 28.01.2024 um 01:33

Abhaken: Die Dreiecke sind für up/downvotes. Dadrunter (wenn ich mich recht erinnere) ist ein weiterer Haken. Bei jeder eintreffenden Antwort wird Dir das per e-mail erklärt. Davon hast Du schon etliche gekriegt.
Crosspost: Es ist nicht schlimm, wenn Du es woanders versuchst, wenn Du das dann klar kommunizierst (idealerweise mit Verlinkung). Also gerne mehrere Meinungen hören, aber dann offen und nicht heimlich (siehe FAQ bei mathelounge). Wir helfen hier unentgeltlich in unserer Freizeit und das gerne bei denen, die fair mit unserer Hilfe umgehen. Also, mach es transparent. Lies den FAQ bei mathelounge.
Anders ausgedrückt: Wenn Du einen Wettbewerb zwischen Helfern, die unentgeltlich in ihrer Freizeit helfen, veranstalten willst, sag es offen.
  ─   mikn 28.01.2024 um 13:26
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