Hallo, ich sollte eine Sache beweisen. Habe ich das so richtig gemacht?

Aufgabe:
Ich sollte beweisen: Sei f: K -> |K eine stetige Funktion, wobei K Teilmenge |K, kompakt ist. Dann gelte auch, das f(K) Teilmenge |K kompakt ist.

Mein Beweis:
K kompakt <=> K abgeschlossen und beschränkt (Definition)
K abgeschlossen <=> Für jeden Häufungspunkt x gilt: x ist in K (Definition)
K beschränkt <=> Es gibt sup(K) und inf(K)

Da K also abgeschlossen und beschränkt ist => sup(K), inf(K) ist in K.

Sei (x_n) aus K eine Folge mit x_n ≠ sup(K) für alle n aus N (natürliche Zahlen) und lim(x_n) = sup(K). Auch (y_n) aus K, sei eine Folge mit y_n ≠ inf(K) für alle n aus N und lim(y_n) = inf(K).
Da f stetig ist nach Voraussetzung, gilt: lim(f(x_n)) = f(sup(K)) und auch lim(f(y_n)) = f(infK), für alle Folgen (f(x_n)) und (f(y_n)) aus f(K). Damit ist f(K) durch f(inf(K)) und f(sup(K)) beschränkt.
Da f stetig ist, also sup(K) und inf(K) aus K, ist auch f(sup(K)) und f(inf(K)) aus f(K). Damit ist f(K) abgeschlossen und beschränkt. Nach Definition also kompakt und das war ja zu zeigen.