Hey, am Besten kannst du das meiner Meinung an der Linearfaktorzerlegung ablesen, die ja auch oft Nullstellenform genannt wird.

Wenn du zum Beispiel was raushast wie:

\( p(x)=x^{3}\cdot (x-4) \cdot (x+3) \cdot (x+3) \cdot (x-0.5) \)

Dann kannst du einfach ablesen dass 0 eine 3-fache Nullstelle ist, 4 und 0.5 jeweils einfache und -3 eine zweifache.

Leuchtet dir das ein?

Viele Grüße, jojoliese 

Wenn du keine Linearfaktorzerlegung machen möchtest, kannst du die Vielfachheit auch mithilfe der Ableitungen überprüfen.

Nehmen wir an, du hast ein Polynom \( p \) und eine Nullstelle \( x_0 \). Dann ist \( x_0 \) eine \(n\)-fache Nullstelle, wenn \( x_0 \) auch eine Nullstelle der ersten \( n-1 \) Ableitungen von \( p \) ist, aber keine Nullstelle von der \(n\)-ten Ableitung von \(p\).

Beispiel: Das Polynom \( p = x^4 - 5x^3 + 6x^2 + 4x - 8 \) hat die Nullstelle \( x_0=2 \). Man kann nun nachrechnen, dass auch \( p^\prime(2)=0 \) und \( p^{\prime \prime} (2) = 0 \) sind, aber \( p^{\prime \prime \prime} (2) \neq 0 \) ist. Also ist \( x_0=2 \) eine \(3\)-fache Nullstelle.