Frage bezüglich des Exponentiellen Wachstums

Aufrufe: 615     Aktiv: 28.04.2020 um 15:07
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Moin!

Ich habe da ein Problem, welches ich mal an einem Beispiel kundtun möchte:

Angenommen man habe eine Pflanze, welche zu beginn 1,20m groß ist, welche dann jede Woche um das doppelte anwächst, bis sie irgendwann einen festen Wert überschritten hat. Bsp. 30m...

Aus diesem Text erhält man 3 Werte... \(a_1\)= 1,20m, q= 2, \(a_n\)= 30m

(1.Version) Wir sollen das in die Formel \(a_n=a_1*q^{n-1}\) stecken, dort komme ich am Ende auf das Ergebnis: n 5,64, sprich 5,64 Wochen.

(2.Version) Wenn ich jetzt jedoch die Formel \(a_n=a_0*q^{n}\) verwenden würde (welche ich schon öfters gesehen habe), und für \(a_0\)=1,2m einsetze, komme ich auf das Ergebnis, n4,64... 

Was davon ist richtig? Braucht die Pflanze jetzt 4,64 oder 5,64 Wochen? Oder muss ich bei der ersten Version eine Woche abziehen? Da ja \(a_1\) sogesehen den n-Wert 1 hat? 

Mag vielleicht eine komische Frage sein,doch verwirrt es mich im Rahmen einer Textaufgabe, die in etwa so aufgebaut ist. :/ 

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Schüler, Punkte: 26

 
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1 Antwort
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Ich glaube das kann man sich mal "stupide" überlegen und einfach mal von Hand durchiterieren:

Zum Zeitpunkt 0 ist die Planze 1,2m hoch. Dann geht es ja wie folgt weiter:

Zeitpunkt 1: 2,4m

Zeitpunkt 2: 4,8m

Zeitpunkt 3: 9,6m

Zeitpunkt 4: 19,2m

Zeitpunkt 5: 38,4m

 

Entsprechend muss doch die Lösung zwischen 4 und 5 und nicht zwischen 5 und 6 liegen, was dann für 4,64 spricht.

 

 

 

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Student, Punkte: 910

 
Vielen Dank für die Hilfe!^^
Ich verstehe halt nicht direkt warum wir die Formel \(a_n=a_1*q^{n-1}\) verwenden sollen und nicht einfach die andere...   ─   namurix 28.04.2020 um 13:01
Naja das Problem ist ja, dass du hier in deiner Rechnung einmal für \(a_0\) und einmal für \(a_1\) den selben Wert von 1,2m einsetzt.
Letztendlich ist es ja die selbe Formel nur eben um eine Zeiteinheit verschoben. Wenn \(a_0 = 1,2m\) ist, dann ist ja \(a_1 = 2,4m\).
Wenn du mit diesen Werten rechnest, kommt auch beides mal das selbe raus.   ─   eckebrecht 28.04.2020 um 13:04
Also ist es besser, bei Textaufgaben wie solche, eher die Formel \(a_n=a_0*q^n\) zu nutzen, als die andere, weil man es 1. einfacher hat und 2. Fehler vermieden werden können? :?   ─   namurix 28.04.2020 um 14:00
Naja es sind halt einfach zwei verschiedene Zeitpunkte mit denen du anfängst.
Aber Generell ist die Formel die du da hast die richtige, wenn du den Wert zum Start gegeben hast. Wenn du den Wert nach einer Periode gegeben hast, dann ist die andere die richtige. Man sieht auch dass die beide ineinander übergehen.
Es ist ja denke ich klar, dass \(a_1 = q \cdot a_0 \) ist. Also ist entsprechend:
\( a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = a_0 \cdot q \cdot q^{n-1} = a_0 \cdot q^n \)
Also letztendlich ist es die selbe Formel, nur dass man eben von einem anderen Zeitpunkt ausgeht.   ─   eckebrecht 28.04.2020 um 14:03
Echt vielen Dank für die umfangreiche Hilfe! Hat mir was das Verständnis dieser Formeln angeht sehr geholfen! :D
Ich weiß auch nicht warum ich da so meine Probleme hatte, manchmal steht man halt echt aufm Schlauch.   ─   namurix 28.04.2020 um 15:04
Kein Problem, immer wieder gerne :D   ─   eckebrecht 28.04.2020 um 15:07

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