Stetigkeit im normierten Raum

Erste Frage Aufrufe: 768     Aktiv: 29.04.2022 um 21:25
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Hallo,
ich habe hier folgende Aufgabe:

Sei \( X=\left(C([0,1]),\|\cdot\|_{1}\right) \) mit
$$\|f\|_{1}:=\int \limits_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x , \quad f \in C([0,1]) $$

und \( Y=\left(C([0,1]),\|\cdot\|_{[0,1]}\right) \) mit
$$ \|f\|_{[0,1]}:=\sup _{x \in[0,1]}|f(x)| \quad, f \in C([0,1]) $$

Zeigen Sie, dass die Abbildung
i) \( I: Y \rightarrow X, f \mapsto f \) stetig ist,
ii) \( J: X \rightarrow Y, f \mapsto f \) nicht stetig ist.

Notation: Mit $C([a,b])$ ist hier der Vektorraum aller reellwertigen, stetigen Funktionen auf $[a,b]$ gemeint.

Meine Frage bezieht sich (noch) nicht auf das inhaltliche. Vielmehr würde ich gerne wissen was es mit dem $f \mapsto f$ auf sich hat. Konkret am Bsp 1): Ich habe hier ja zwei fancy normierte Vektorräume X und Y und normaler Weise kenne ich das so, dass jetzt irgendein x abgebildet wird auf irgendein $f(x)$, also $x \mapsto f(x)$. Ich kann halt iwi nicht so viel mit der Notation $f \mapsto f$ anfangen.
Und wenn ich das richtig verstanden habe, ist ja das $f$ auch allgemein, dass heißt so konkret kann ich die Stetigkeit ja gar nicht "nachrechnen", sondern muss das vermutlich irgendwie argumentativ machen, korrekt?

Es wäre total lieb, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte
LG <3
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gefragt

Punkte: 40

 
Auch von meiner Seite ein +1 für die schön formatierte und spannende Frage!!   ─   karate 26.04.2022 um 23:05
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3 Antworten
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Zu i)
Wenn Du Dein $\varepsilon-\delta$-Kriterium auf die Situation hier umschreibst, für $I:Y\longrightarrow X$, dann lautet diese:
$\forall \varepsilon>0\, \exists \delta>0$, so dass für alle $f,g\in C([0,1])$ gilt: $\|f-g\|_Y< \delta \Longrightarrow \|f-g\|_X< \varepsilon$.
Mach Dir das zunächst mal klar. Die Abbildung ist ja die Identität, es wird nur die Norm gewechselt vom Def-bereich in den Wertebereich. Das hat Einfluss auf die Stetigkeit. Hier ist also $\|.\|_X$ die 1-Norm und $\|.\|_Y$ die sup-Norm.
Die Stetigkeit kannst Du hier mit der von Dir oben erwähnten Abschätzung zeigen. Wende diese dann auf $f-g$ an. Spoiler: $\delta:=\frac{\varepsilon}{b-a}$ bringt's.
Zu ii) Das umgeschriebene $\varepsilon-\delta$-Kriterium lautet hier ganz genau wie vorher, nur müssen jetzt $Y$ und $X$ vertauscht werden (sonst keine Änderung). Und es soll halt nicht-stetig sein, d.h. das Kriterium ist jetzt zu widerlegen. Gegenbeispiel?

Aber mach erstmal i) ganz fertig.
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Lehrer/Professor, Punkte: 38.9K

 
Vielen Dank für diese ausführliche Antwort. Ich schreibe mal eben dazu, was ich jetzt herausbekommen habe:

$$||f-g||_X=\int \limits_{0}^{1}|f-g|dx \leq \int \limits_{0}^{0}||f-g||_Ydx \stackrel{?}{=} (1-0)\cdot||f-g||_Y = ||f-g||_Y < \delta =: \epsilon$$

Bei der von mir mit (?) markierten Stelle muss ich konkret die Linearität nachweisen, sonst gilt diese Gleichheit im Allgemeinen nicht, korrekt?
Ich hoffe mal, dass der Beweis zur Stetigkeit von $I$ so durchgeht und ich keine Fehler drin habe.

LG <3   ─   laura22 28.04.2022 um 19:40
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Vielen lieben Dank an dieser Stelle an dich, cauchy und zest. Ihr habt mir sehr weiterhelfen können und ich finde es toll, wie ihr euch hier engargiert, das ist keine Selbstverständlichkeit. Ihr seid tolle Menschen und eine Bereicherung für die Welt der Ahnungslosen, vielen Dank für euren Beitrag :D
LG <3   ─   laura22 29.04.2022 um 17:24

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.
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Hallo Laura und willkommen auf mathefragen.de! Erst einmal ein großes Lob für die schön formatierte Frage. Sieht man nicht oft hier. :) 

Jetzt zu deiner Frage. Du kennst natürlich die Notation $x\mapsto f(x)$ für bspw. $x\in\mathbb{R}$. Jetzt sind aber deine Vektorräume $X$ und $Y$ Funktionenräume, das heißt, sie enthalten Funktionen. Es gilt also $f\in X$ bzw. $f\in Y$. Ähnlich wie beim obigen Beispiel kann man nun ein Element aus $X$ wählen und dieses auf $Y$ abbilden. In deinen Beispielen wird jeweils die Funktion $f$ auf sich selbst abgebildet und daher $f\mapsto f$.

Ich hoffe, dass dir die Antwort beim Verständnis weiterhilft.
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Selbstständig, Punkte: 30.55K

 
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Vielen lieben Dank, das hat auf jeden Fall zum Verständnis davon beigetragen. Ich würde dennoch gerne einen kleinen Gravity-Assist auf die inhaltliche Ebene durchführen.

Ich bin ja bei der Wahl von $f$ erstmal nur auf $f \in C([0,1])$ limitiert. D.h. $f$ kann ja mit der Voraussetzung erstmal beliebig sein, allerdings habe ich jetzt genau 2 Definitionen zum Beweis von Stetigkeit.
1) Über die Grenzwerte, also $\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$ für ein $a \in X$.
2) Über die Eps-Delta-Definition, also: $\forall \epsilon >0\exists \delta >0\forall x\in X: d(x,a)< \delta \Rightarrow d(f(x),f(a))<\epsilon$.

Diese Definition helfen mir zwar dabei, bei einem konkreten $f$ die Stetigkeit zu prüfen, aber ich habe gerade Probleme die Schnittstelle zwischen der Aufgabe und meinen Definitionen zu finden.
LG Laura <3   ─   laura22 26.04.2022 um 18:57
Nimmt man sich den Vektorraum \( C[0, 1]=\{f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R} | f \) ist stetig \( \} \) mit der Norm
\( \|f\|_{[0, 1]}=\sup _{x \in[0, 1]}|f(x)| \)
so definiert
\( J_2:(C[0, 1], ||\cdot||_{[0,1]}) \rightarrow \mathbb{R}, f \mapsto \int \limits_{0}^{1} f d t\)
eine stetige lineare Abbildung. Dass ein Integral linear ist, habe ich schonmal gezeigt. Jetzt kann ich folgende Abschätzung durchführen:
\( |J_2(f)|=\left|\int \limits_{a}^{b} f d t\right| \leq \int \limits_{a}^{b}|f| d t \leq \int \limits_{a}^{b}\|f\|_{[a, b]} d t=(b-a)\|f\|_{[a, b]}, \)

Die Stetigkeit würde aus einem Satz folgen, den ich der Literatur entnommen haben ( \(A:X \rightarrow Y \) stetig, genau dann wenn eine konstante $c \geq 0$ existiert, sodass: $||Ax|| \leq c||x||$ ). Da der Satz aber so nicht in meiner VL vorkommt, gehe ich mal davon aus, dass ich den nicht verwenden darf.

Das wäre jetzt eine Idee, welche sich aber mit der Abbildung $J_2$ auf einen ganz anderen Wertebereich bezieht. Ich hatte mir hiervon eigentlich erhofft irgendwelche Rückschlüsse auf die eigentliche Aufgabe ziehen zu können, aber da kommt halt nichts.

Ich finde die Antwort von zest zur Anschauung sehr hilfreich, was die Aufgabe bezweckt habe ich somit verstanden. Ich habe, so denke ich, Probleme bei der Anschauung was es nun eben heißt, dass eine Abbildung nicht mehr wie gewohnt irgendwie durch $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto f(x) $ definiert wird, sondern eben durch einen normierten Vektorraum.
   ─   laura22 27.04.2022 um 16:37
\(\mathbb{R}\) ist auch ein normierter Raum nur hier ist jede Norm äquivalent (bzgl. Stetigkeit), das gilt für alle endlich erzeugten Vektorräume (sehr wichtig, merken!)   ─   mathejean 27.04.2022 um 16:54
Ich hatte das oben nur kurz angeschnitte, dazu wurde allerdings nichts in der Vorlesung eingeführt, ich hatte das nur aus einem Buch gelesen, deshlab gehe ich mal davon aus, dass der Beweis ohne dieses Wissen erbracht werden soll   ─   laura22 27.04.2022 um 20:03

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.