Stetigkeit im normierten Raum

Erste Frage Aufrufe: 209     Aktiv: 29.04.2022 um 21:25

3
Hallo,
ich habe hier folgende Aufgabe:

Sei \( X=\left(C([0,1]),\|\cdot\|_{1}\right) \) mit
$$\|f\|_{1}:=\int \limits_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x , \quad f \in C([0,1]) $$

und \( Y=\left(C([0,1]),\|\cdot\|_{[0,1]}\right) \) mit
$$ \|f\|_{[0,1]}:=\sup _{x \in[0,1]}|f(x)| \quad, f \in C([0,1]) $$

Zeigen Sie, dass die Abbildung
i) \( I: Y \rightarrow X, f \mapsto f \) stetig ist,
ii) \( J: X \rightarrow Y, f \mapsto f \) nicht stetig ist.

Notation: Mit $C([a,b])$ ist hier der Vektorraum aller reellwertigen, stetigen Funktionen auf $[a,b]$ gemeint.

Meine Frage bezieht sich (noch) nicht auf das inhaltliche. Vielmehr würde ich gerne wissen was es mit dem $f \mapsto f$ auf sich hat. Konkret am Bsp 1): Ich habe hier ja zwei fancy normierte Vektorräume X und Y und normaler Weise kenne ich das so, dass jetzt irgendein x abgebildet wird auf irgendein $f(x)$, also $x \mapsto f(x)$. Ich kann halt iwi nicht so viel mit der Notation $f \mapsto f$ anfangen.
Und wenn ich das richtig verstanden habe, ist ja das $f$ auch allgemein, dass heißt so konkret kann ich die Stetigkeit ja gar nicht "nachrechnen", sondern muss das vermutlich irgendwie argumentativ machen, korrekt?

Es wäre total lieb, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte
LG <3
Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 33

 

Auch von meiner Seite ein +1 für die schön formatierte und spannende Frage!!   ─   karate 26.04.2022 um 23:05
Kommentar schreiben
3 Antworten
1
Zu i)
Wenn Du Dein $\varepsilon-\delta$-Kriterium auf die Situation hier umschreibst, für $I:Y\longrightarrow X$, dann lautet diese:
$\forall \varepsilon>0\, \exists \delta>0$, so dass für alle $f,g\in C([0,1])$ gilt: $\|f-g\|_Y< \delta \Longrightarrow \|f-g\|_X< \varepsilon$.
Mach Dir das zunächst mal klar. Die Abbildung ist ja die Identität, es wird nur die Norm gewechselt vom Def-bereich in den Wertebereich. Das hat Einfluss auf die Stetigkeit. Hier ist also $\|.\|_X$ die 1-Norm und $\|.\|_Y$ die sup-Norm.
Die Stetigkeit kannst Du hier mit der von Dir oben erwähnten Abschätzung zeigen. Wende diese dann auf $f-g$ an. Spoiler: $\delta:=\frac{\varepsilon}{b-a}$ bringt's.
Zu ii) Das umgeschriebene $\varepsilon-\delta$-Kriterium lautet hier ganz genau wie vorher, nur müssen jetzt $Y$ und $X$ vertauscht werden (sonst keine Änderung). Und es soll halt nicht-stetig sein, d.h. das Kriterium ist jetzt zu widerlegen. Gegenbeispiel?

Aber mach erstmal i) ganz fertig.
Diese Antwort melden
geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 24.02K

 

Vielen Dank für diese ausführliche Antwort. Ich schreibe mal eben dazu, was ich jetzt herausbekommen habe:

$$||f-g||_X=\int \limits_{0}^{1}|f-g|dx \leq \int \limits_{0}^{0}||f-g||_Ydx \stackrel{?}{=} (1-0)\cdot||f-g||_Y = ||f-g||_Y < \delta =: \epsilon$$

Bei der von mir mit (?) markierten Stelle muss ich konkret die Linearität nachweisen, sonst gilt diese Gleichheit im Allgemeinen nicht, korrekt?
Ich hoffe mal, dass der Beweis zur Stetigkeit von $I$ so durchgeht und ich keine Fehler drin habe.

LG <3
  ─   laura22 28.04.2022 um 19:40

Zur Stelle mit ?: Erstmal Tippfehler, obere Grenze ist 1. Diese Stelle erfordert gar keine weitere Argumentation, denn $\|f-g\|_Y$ ist ja eine Zahl, eine Konstante, die hängt insb. nicht von $x$ ab. Daher: Integral über Konstante = Konstante mal Länge des Integrationsintervalls (ich hatt oben b-a geschrieben, aber es ist ja 1-0).
Damit wäre dieser Beweis komplett. Schreib aber vorher noch "Sei $\varepsilon >0$, def. $\delta := \varepsilon$" davor. Dann kommt die obige Zeile. Denk das nochmal in Ruhe durch, insb. was die einzelnen Objekte sind, ob Zahlen, Funktionen, oder Funktionswerte. Es hilft sehr, wenn man sich das klar macht.
  ─   mikn 28.04.2022 um 21:20

2
Vielen lieben Dank an dieser Stelle an dich, cauchy und zest. Ihr habt mir sehr weiterhelfen können und ich finde es toll, wie ihr euch hier engargiert, das ist keine Selbstverständlichkeit. Ihr seid tolle Menschen und eine Bereicherung für die Welt der Ahnungslosen, vielen Dank für euren Beitrag :D
LG <3
  ─   laura22 29.04.2022 um 17:24

Freut mich wenn dir geholfen wurde:)   ─   zest 29.04.2022 um 18:58

Immer wieder gerne. Es gibt ja doch noch freundliche Menschen mit Anstand. :)   ─   cauchy 29.04.2022 um 21:25

Kommentar schreiben

2
Hallo Laura und willkommen auf mathefragen.de! Erst einmal ein großes Lob für die schön formatierte Frage. Sieht man nicht oft hier. :) 

Jetzt zu deiner Frage. Du kennst natürlich die Notation $x\mapsto f(x)$ für bspw. $x\in\mathbb{R}$. Jetzt sind aber deine Vektorräume $X$ und $Y$ Funktionenräume, das heißt, sie enthalten Funktionen. Es gilt also $f\in X$ bzw. $f\in Y$. Ähnlich wie beim obigen Beispiel kann man nun ein Element aus $X$ wählen und dieses auf $Y$ abbilden. In deinen Beispielen wird jeweils die Funktion $f$ auf sich selbst abgebildet und daher $f\mapsto f$.

Ich hoffe, dass dir die Antwort beim Verständnis weiterhilft.
Diese Antwort melden
geantwortet

Selbstständig, Punkte: 22.24K

 

1
Vielen lieben Dank, das hat auf jeden Fall zum Verständnis davon beigetragen. Ich würde dennoch gerne einen kleinen Gravity-Assist auf die inhaltliche Ebene durchführen.

Ich bin ja bei der Wahl von $f$ erstmal nur auf $f \in C([0,1])$ limitiert. D.h. $f$ kann ja mit der Voraussetzung erstmal beliebig sein, allerdings habe ich jetzt genau 2 Definitionen zum Beweis von Stetigkeit.
1) Über die Grenzwerte, also $\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$ für ein $a \in X$.
2) Über die Eps-Delta-Definition, also: $\forall \epsilon >0\exists \delta >0\forall x\in X: d(x,a)< \delta \Rightarrow d(f(x),f(a))<\epsilon$.

Diese Definition helfen mir zwar dabei, bei einem konkreten $f$ die Stetigkeit zu prüfen, aber ich habe gerade Probleme die Schnittstelle zwischen der Aufgabe und meinen Definitionen zu finden.
LG Laura <3
  ─   laura22 26.04.2022 um 18:57

1
Da du natürlich hier normierte Räume hast, wäre es sinnvoller mit der zweiten Definition zu arbeiten, wobei du da entsprechend die jeweiligen Normen verwendest. Außerdem willst du ja nicht die Stetigkeit von $f$ zeigen, sondern die Stetigkeit von $I$ bzw. $J$. Achte genau darauf, was du für Objekte hast. Versuche also mal das Epsilon-Delta-Kriterium für diese Aufgaben mit der richtigen Schreibweise umzuschreiben.   ─   cauchy 26.04.2022 um 20:57

Nimmt man sich den Vektorraum \( C[0, 1]=\{f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R} | f \) ist stetig \( \} \) mit der Norm
\( \|f\|_{[0, 1]}=\sup _{x \in[0, 1]}|f(x)| \)
so definiert
\( J_2:(C[0, 1], ||\cdot||_{[0,1]}) \rightarrow \mathbb{R}, f \mapsto \int \limits_{0}^{1} f d t\)
eine stetige lineare Abbildung. Dass ein Integral linear ist, habe ich schonmal gezeigt. Jetzt kann ich folgende Abschätzung durchführen:
\( |J_2(f)|=\left|\int \limits_{a}^{b} f d t\right| \leq \int \limits_{a}^{b}|f| d t \leq \int \limits_{a}^{b}\|f\|_{[a, b]} d t=(b-a)\|f\|_{[a, b]}, \)

Die Stetigkeit würde aus einem Satz folgen, den ich der Literatur entnommen haben ( \(A:X \rightarrow Y \) stetig, genau dann wenn eine konstante $c \geq 0$ existiert, sodass: $||Ax|| \leq c||x||$ ). Da der Satz aber so nicht in meiner VL vorkommt, gehe ich mal davon aus, dass ich den nicht verwenden darf.

Das wäre jetzt eine Idee, welche sich aber mit der Abbildung $J_2$ auf einen ganz anderen Wertebereich bezieht. Ich hatte mir hiervon eigentlich erhofft irgendwelche Rückschlüsse auf die eigentliche Aufgabe ziehen zu können, aber da kommt halt nichts.

Ich finde die Antwort von zest zur Anschauung sehr hilfreich, was die Aufgabe bezweckt habe ich somit verstanden. Ich habe, so denke ich, Probleme bei der Anschauung was es nun eben heißt, dass eine Abbildung nicht mehr wie gewohnt irgendwie durch $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto f(x) $ definiert wird, sondern eben durch einen normierten Vektorraum.
  ─   laura22 27.04.2022 um 16:37

\(\mathbb{R}\) ist auch ein normierter Raum nur hier ist jede Norm äquivalent (bzgl. Stetigkeit), das gilt für alle endlich erzeugten Vektorräume (sehr wichtig, merken!)   ─   mathejean 27.04.2022 um 16:54

@laura habt ihr zufällig etwas zur Stetigkeit bzw. Beschränktheit von linearen Operatoren aufgeschrieben? (Vorab: ich kenne mich in Funktionalanalysis nicht aus) aber deine Abbildungen $I,J$ sind lineare Operatoren, d.h. lineare Abbildungen zwischen normierten Vektorräumen. Und in solchen ist Stetigkeit äquivalent zur Beschränktheit, d.h. eine Möglichkeit wäre es einfach zu versuchen zu zeigen, dass es ein konstante $K_I$ gibt, so dass $$\Vert I(f)\Vert \le K_I\Vert f\Vert$$ aber kein solches $K_J$ gefunden werden kann für $J$, so dass $$\Vert J(f) \Vert \le K_J\Vert f \Vert$$

Das ist dann äquivalent dazu, dass $I$ stetig ist (da $I$ beschränkt ist), aber $J$ nicht (da $J$ nicht beschränkt ist).
  ─   zest 27.04.2022 um 18:58

Ich hatte das oben nur kurz angeschnitte, dazu wurde allerdings nichts in der Vorlesung eingeführt, ich hatte das nur aus einem Buch gelesen, deshlab gehe ich mal davon aus, dass der Beweis ohne dieses Wissen erbracht werden soll   ─   laura22 27.04.2022 um 20:03

Okay, habt ihr zufällig aufgeschrieben, dass die $\varepsilon,\delta$-Stetigkeit äquivalent zur Beschränktheit von linearen Operatoren ist? Wenn ihr das wisst, kannst du die Beschränktheit nutzen. Alternative 1: Zeige (hab's aber selber nicht probiert), dass die $\varepsilon,\delta$-Stetigkeit äquivalent ist zur Beschränktheit, oder Alternative 2: versuche die Stetigkeit hier mit $\varepsilon,\delta$ zu beweisen (für die Abbildung $I$) bzw. zu widerlegen (für die Abbildung $J$).

Ich vermute, dass der direkte Beweis mit $\varepsilon,\delta$ am einfachsten sein wird. Beachte, dass du hier die durch die Normen induzierte Metrik nutzen musst, d.h. deine Metrik $d_1(f_1,f_2)$ wird durch $\Vert \cdot \Vert_1$ beispielsweise induziert. Mit anderen Worten: Du musst deine $\varepsilon,\delta$-Definition die du oben genannt hast übersetzen in die Definition in der du die gegebenen Normen verwendest.
  ─   zest 27.04.2022 um 20:22

Kommentar schreiben

1

Zusätzlich zu Cauchys Antwort hier eine Perspektive, die ggf. hilfreich sein könnte (hoffentlich):

Stetigkeit ist nie nur eine Eigenschaft von Funktionen sondern, genau genommen, immer eine Eigenschaft von Funktionen bezüglich der zugrundeliegenden Topologien

Sind also $X$ und $Y$ topologische Räume, so müssen wir genau genommen immer die zugrundeliegenden Topologien angeben, denn erst durch die Wahl einer Topologie wird $X$ respektive $Y$ zum topologischen Raum. Seien also $T_X$ und $T_Y$ jeweils die Topologien auf $X$ bzw. $Y$ und sei $f\colon X\to Y$ eine stetige Abbildung (bezüglich der Topologien $T_X,T_Y$). Dann schreibt man 

$$f\ \text{ist}\ T_X,T_Y\text{-stetig}$$ oder alternativ $$f\colon (X,T_X)\to (Y,T_Y)\ \text{ist stetig}$$

Häufig sind die Topologien allerdings aus dem Kontext klar oder man verzichtet aus Gründen der Einfachheit auf die explizite Beschreibung der Topologien, dann schreibt man $$f\colon X\to Y\ \text{ist stetig}.$$

Warum erzähl ich dir das? Angenommen $\widetilde T_X$ und $\widetilde T_Y$ sind weitere Topologien auf $X$ bzw. $Y$, dann wird es im Allgemeinen so sein, dass beispielsweise $$f\colon (X,T_X)\to (Y,T_Y)$$ stetig ist, aber $$f\colon (X,\widetilde T_X) \to (Y,T_Y)$$ plötzlich nicht mehr. Und genau das passiert in deiner Aufgabe.

Da jede Norm eine Metrik induziert und jede Metrik eine Topologie induziert, ist jeder normierte Raum ein topologischer Raum (mit der durch die Norm induzierte Topologie).

Mit anderen Worten: Du sollst in deiner Aufgabe quasi zeigen, dass die Stetigkeit von $I$ bzw. $J$ vorrangig von der Wahl der Norm abhängt. 

Diese Antwort melden
geantwortet

Student, Punkte: 780

 

1
Vielen Dank lieber zest, das hat der mir weitergeholfen den Kontext und den Sinn der Aufgabe zu verstehen. Meine inhaltlichen Fragen poste ich der Übersichtlichkeit wegen unter cauchy´s Antwort.
LG <3
  ─   laura22 27.04.2022 um 16:38

Sehr gerne. Freut mich, wenn ich dir helfen konnte.   ─   zest 27.04.2022 um 18:59

Kommentar schreiben