Lineare Unabhängigkeit Beweis

Aufrufe: 712     Aktiv: 07.03.2021 um 15:39
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Aufgabe: Sei F der R-Vektorraum, der von den vier Funktionen sin(x), cos(x), xsin(x), xcos(x) erzeugt wird. Zeigen Sie, dass F die Dimension 4 hat.

Jetzt zu meiner Frage. In der Musterlösung wurde die Funktion F(x) = a*sin(x) + b*cos(x) + c*xsin(x) + d*xcos(x) = 0 gewählt. Dann hat man durch das Einsetzen von Werten gezeigt, dass die Koeffizienten alle bei einem unterschiedlichen x Null werden. Warum genau reicht das als Beweis aus? Also warum wird durch das Zeigen das bei unterschiedlichen Werten Null rauskommt gezeigt, dass die Funktionen linear unabhängig sind?
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Für den Nachweis der lin. Unabhängigkeit setzt man eine allgem. Linearkombination =0 und muss zeigen, dass die Koeffizienten alle Null sind.
Diese Linearkomb. ist hier Dein F(x). Da wir über Funktionen reden, heißt das, F ist die Nullfunktion, d.h. \(F(x)=0\) für alle \(x\).
Um \(a=b=c=d=0\) zu zeigen, setzt man theoretisch beliebige vier x-Werte ein und löst das LGS mit 4 Gl und 4 Unbek.
Einfacher ist, wenn man x's findet, so dass direkt nur eine Gleichung mit einer Unbekannten entsteht, dann spart man sich ja das LGS. Probier doch mal ein paar aus...
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