Symmetrie Interpolationspolynom

Aufrufe: 80     Aktiv: 07.03.2022 um 13:13

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Hey :),

ich bräuchte bei folgender kurzen Aufgabe ein wenig Hilfe

f ist eine gerade stetig differenzierbare Funktion auf dem Intervall $[-2;2]$. Zu $ n \in \mathbb{N}$ seien paarweise verschiedene Knoten $x_{0},...,x_{n}$ $\in \mathbb{N}$ gegeben. Diese sind symmetrisch verteilt, es gilt also $x_{n-j}=-x_{j}$ für $j=0,...,n$. 

Ich soll nun zeigen, dass das Interpolationspolynom $p_{f}$ auch gerade ist.

Also:

In den $n$ Knoten ist mir klar, dass dort $p$ symmetrisch ist, da f ja symmetrisch ist und p in diesen Punkten ja gleich f ist. Wie könnnte ich denn zeigen, dass $p(x)=p(-x)$ auch für nicht Knotenpunkte gilt?

 

Danke euch

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1 Antwort
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Erstmal aufpassen mit den Begriffen: f ist gerade. Der Begriff "symmetrisch in den Punkten" ist unklar und daher verwirrend.

Ansonsten:

Def. ein Polynom q durch q(x):=p(x)-p(-x), betrachte den Grad und die Nullstellen und beachte, dass ein Polynom eindeutig durch Werte an einer gewissen Anzahl x-Stellen festgelegt ist.

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Also so, geht der Beweis nach dem Schema, wie man die Eindeutigkeit des Interpolationspolynoms beweist?
Also q ist ein Polynom mit Grad kleiner gleich n hat aber n+1 Nullstellen, muss also das Nullpolynom sein, und daher ist p(x) identisch p(-x)?

Und vielen Dank für deine Antwort.
  ─   walterfrosch 06.03.2022 um 17:40

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Ganz genau.   ─   mikn 06.03.2022 um 17:43

Wenn alles geklärt ist, bitte als beantwortet abhaken, damit wir den Überblick behalten.   ─   mikn 07.03.2022 um 13:13

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