Analysis, 2 gekoppelte DGL mit 2 Funktionen fx) und g(x)?

Aufrufe: 726     Aktiv: 20.12.2020 um 00:52

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Hallo,

In der Kommentarspalte zu einem DGL Video auf Youtube bin ich auf diesen kommentar gestoßen und habe mich, just for fun, mal mit der Aufgabenstellung beschäftigt:

Ich würde gerne mal meine Gedanken bisher darlegen und um Meinung bitten ob das so richtig ist und wie man weiter vorgehen würde?

Ich schreibe, aus Faulheit, nachfolgend statt f(x) nur f und so weiter.
Es hängt ja eh Alles von x ab, daher.

 

Also, ich habe mir zuerst überlegt was die Ableitung der ersten DGL ist:
f'' =(g(f))'=g'(f)*f'
nach Kettenregel.

Dann habe ich letztlich die DGLs ineinander eingesetzt:

g'(f)=f(g(f))
nahc der 2. dgl, wenn ich statt x eben f(x) einsetze.

nun kann ich den f(g(...)) part aber durch f' ersetzen gemäß 1. dgl:

 

g'(f)=f(g(f))=f(f')
das eingesetzt in die formel weiter oben:

f'' =(g(f))'=g'(f)*f' = f(f')*f'

Also eine DGL, in der nur f sowie die ersten 2 Ableitungen vorkommt.
Also kein g mehr in irgendeiner Form.

Analog kann man wohl eine DGL finden, in der nur g und seine ersten 2 Ableitungen vorkommt.

 

Stimmt das so?
Und wie würde man diese doch etwas komische DGL lösen?

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Fraglich, ob man sowas überhaupt allgemein gelöst bekommt. Du kannst erstmal die Ordnung dieser DGL reduzieren. z.B. durch

\( u(x)=f'(x) \) und \(u'(x)=f''(x) \)

Dadurch hast du erstmal was übersichtlicheres.

\(u' = u\cdot f(u) \)

davon kann man natürlich die Variablen separieren und versuchen zu integrieren

\( \int \frac{du}{u\cdot f(u)}=\int dx=x+c\)

Bei mir ist zumindest hier jetzt Schluss. Man kann für \( f(u)\) verschiedene Funktionen ausprobieren und Lösungen dazu finden, z.B. für  \( f(u)=au^n \), aber dabei taucht laut Wolframalpha die unvollständige Gammafunktion auf, die das Ganze nicht unbedingt leichter macht. Und ich habe auch nicht überprüft, ob das wirklich einer Lösung der DGL entspricht.

prinzipiell kann man das gleiche für die andere Funktion machen mit \( v(x)=g'(x) \) und erhält nochmal die gleiche Gleichung.

Muss jetzt auch Schluss machen, da ich so spät nicht mehr meinen Kopf zermürben will :D Vielleicht hab ich dich ja auf ein paar Ideen gebracht.

 

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