Fraglich, ob man sowas überhaupt allgemein gelöst bekommt. Du kannst erstmal die Ordnung dieser DGL reduzieren. z.B. durch
\( u(x)=f'(x) \) und \(u'(x)=f''(x) \)
Dadurch hast du erstmal was übersichtlicheres.
\(u' = u\cdot f(u) \)
davon kann man natürlich die Variablen separieren und versuchen zu integrieren
\( \int \frac{du}{u\cdot f(u)}=\int dx=x+c\)
Bei mir ist zumindest hier jetzt Schluss. Man kann für \( f(u)\) verschiedene Funktionen ausprobieren und Lösungen dazu finden, z.B. für \( f(u)=au^n \), aber dabei taucht laut Wolframalpha die unvollständige Gammafunktion auf, die das Ganze nicht unbedingt leichter macht. Und ich habe auch nicht überprüft, ob das wirklich einer Lösung der DGL entspricht.
prinzipiell kann man das gleiche für die andere Funktion machen mit \( v(x)=g'(x) \) und erhält nochmal die gleiche Gleichung.
Muss jetzt auch Schluss machen, da ich so spät nicht mehr meinen Kopf zermürben will :D Vielleicht hab ich dich ja auf ein paar Ideen gebracht.
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