Der Ansatz hängt aber auch von der linken Seite der Dgl ab, daher kann man das so nicht sagen.
Auf jeden Fall muss man die rechte Seite erstmal umschreiben $\cos^2 x=\frac12(\cos(2x)+1)$.
Es sind daher zwei partikuläre Lösungen zu bestimmen, eine für die rechte Seite $\frac12\cos (2x)$ und eine für $\frac12$ (und diese dann zu addieren).
Für die erste davon ist der komplexe Ansatz $y(x)=c\, e^{2jx}$ richtig, wenn(!) $2j$ keine Nullstelle des char. Polynoms (der linken Seite) ist. Und dann am Ende den Realteil nehmen stimmt.
Aber dann eben noch für den Rest der rechten Seite.