Charakteristik eines Körpers

Aufrufe: 283     Aktiv: 13.11.2022 um 09:32

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Hallo, ihr Lieben. Ich habe einige Fragen bzgl einer Mitschrift von eine meiner Mathe- Vorlesungen. Folgendes:

K sei ein endlicher Körper und enthält wie jeder Körper die Elemente
0; 1; 1+1; 1+1+1;.......

Da K endlich viele Elemente besitzt, gibt es n>m mit 1+1+...+1(m-mal)=1+1+...+1(n-mal),also 1+1+...+1((n-m)-mal)=0

Was sagt mir das m und das n aus?
Warum schreibt man erst m>n aber dann m- mal= n-mal?
Und warum können aufaddierungen von 1 die Null ergeben? 1 ist doch größer als 0.

Ihr seht, dass ich völlig auf dem Schlauch stehe. Wäre wirklich lieb, wenn mir hier einer etwas Licht in's Dunkle bringen könnte.
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Hallo in Körpern wir haben im allgemeinen keine Ordnung von Elementen. Schau dir mal den Körper \(\mathbb{F}_2=\{0,1\}\) an, dies ist kleinster Körper der Welt und es ist \(1+1=0\). Überprüfen ruhig, dass dies einzige Möglichkeit ist. \(m,n\) sollen zeigen, dass für einen endlichen Körper \(K\) der Morphismus \(\mathbb{Z}\to K\) nicht injektiv ist. Der normierte Erzeuger des Kerns dieses Morphismus man sagt ist Charakteristik von \(K\). Mit Teilbarkeitstheorie und Homomorphiesatz wir sehen hieraus übrigens, dass eine Primzahl \(p\) existiert,  so dass \(K/\mathbb{F}_p\) endlich ist, \(p\) Charakteristik von \(K\) und \(\mathbb{F}_p =\mathbb{Z}/(p)\).
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In einfacheren Worten: in diesem Beispiel teilt die Charakteristik \(n-m\)   ─   mathejean 13.11.2022 um 09:29

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