Du hast das etwas missverstanden. Man möchte nicht unbedingt, dass sich die Ableitung deiner Substitution in deinem Integranden finden lässt.

Du möchtest lediglich erreichen, dass dein Integrand nur noch von der "neuen" Integrationsvariable abhängt. (Später ist das nicht immer der Fall, dass sich Terme günstig kürzen lassen und man muss die noch verbleibenden "x" durch die neue Integrationsvariable ausdrücken)

Hier kann man jedoch einfach 3x+5 substituieren, da durch das Ableiten das x entfällt.

\( \int{\sqrt{3x+5}~\text{d}x}=\frac{1}{3}\cdot \int{\sqrt{u}~\text{d}u}~~~\text{mit }u(x)=3x+5 \)

Ziel erreicht: Der Integrand hängt nur noch von der neuen Integrationsvariable ab und ist wesentlich einfacher zu berechnen.

Mit dem Substituieren möchte man keine Integrale berechnen sondern lediglich vereinfachen. Das "neue" Integral lässt sich hier sehr einfach berechnen.

(Achtung: Bei unbestimmten Integralen ist die Rücksubstitution immer notwendig. Bei bestimmten Integralen kannst du die Grenzen ebenfalls substituieren und sparst dir somit die Rücksubstitution.)

Anbei habe ich dir noch ein Video angefügt. Hier wird dir die Integration durch Substitution noch mit anderen Worten erklärt und sollte es weiter festigen und die letzten Unklarheiten beseitigen.