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Guten Abend beinander,
ich habe im Folgenden auf den beiden Bildern meinen Lösungsversuch zu der Aufgabenstellung (i) niedergeschrieben, aber ich bin mir nicht ganz sicher welcher Abschätzungsversuch der Richtige ist.
  • Die mehrzeiligen grauen Texte sind vernachlässigbar, da diese für mich nur als Wiederholung dienen.(edit)
  • In Orange beziehe ich mich mal auf die Definition aus dem Skriptum ... den entsprechenden Teil hab ich dem Anhang auch beigefügt. :)
Vielleicht kann mir jemand von Euch weiterhelfen? Vielen Dank im Voraus!




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Student, Punkte: 26

 
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1 Antwort
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Moin,
der erste Versuch klappt so nicht, der zweite sieht allerdings gut aus. Vielleicht sollte man als Begründung zur ersten Abschätzung im zweiten Versuch argumentieren, dass \(9n^2-6n+1=(3n-1)^2>0\) und somit die Abschätzung tatsächlich hält. Außerdem kann man ein "-" innerhalb eines Betrages immer ignorieren (also mit \(-1\) multiplizieren, ohne den Wert des Betrages zu verändern). Die Vorletzte Abschätzung \(|\frac{1}{9n-3}|<|\frac{1}{9n}|\) stimmt nicht, das Argument hält aber trotzdem, da man zu jedem \(\epsilon >0\) immer ein \(n\in \mathbb{N}\) finden kann, so dass \(9n-3>\frac{1}{\epsilon}\).
LG
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Student, Punkte: 2.73K

 

Vielen Dank für die Antwort! 2 Fragen hätte ich jetzt noch. 1. Deine Aussage bezüglich des "-" im Betrags, war das allgemein gesagt oder sollte das auf eine bestimmt Stelle hinweisen, wenn ja welche? 2. Stimmt, unter Einbezug deiner letzten Aussage, meine neu formulierter letzter Teil (s. Bild 2 edit in obiger Frage) oder ist es tatsächlich nur möglich auf 9N-3 > 1/ϵ umzuformen? (edit) Es funktioniert leider nicht mehr das Bild umzutauschen, aber meine neue letzte Zeile wäre gewesen: |1/9n-3| = 1/9n-3 < 1/9N-3 < ϵ sowie der Nebenrechnung: 1/9N-3 < ϵ nach N umformen => N > 1/9ϵ-3
  ─   ai-student 04.12.2022 um 00:42

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1. Das Minus spielt nie eine Rolle, deswegen benutzt man ja den Betrag
2. Das Ergebnis stimmt trotzdem noch, man sollte nur so kleine Fehler allerdings nicht in der Lösung behalten. Man muss am Ende nicht unbedingt nach N umstellen, da aus dem Archimedischen Axiom direkt folgt, dass ein solches N existiert.
  ─   fix 04.12.2022 um 00:59

Guten Morgen! Bevor ich die Frage abschließe, möchte ich noch fragen, was Sie genau mit „kleine Fehler in der Lösung behalten“ meinen. Das ich wieder nach N umgestellt habe und/oder, dass ich das ϵ nicht in der Form 1/ϵ gelassen habe?   ─   ai-student 04.12.2022 um 09:12

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Damit meinte ich die Abschätzung \(|\frac{1}{9n-3}|<|\frac{1}{9n}|\)   ─   fix 04.12.2022 um 13:46

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