Beim ersten Beweis: Der Beweis wird per Widerspruch geführt. Wir nehmen also an, dass \(g\) nicht surjektiv ist. Surjektivität heißt ja, dass jedes Element der Bildmenge getroffen wird. Ist \(g\) also nicht surjektiv, muss es ein \(z\in Z\) geben, das nicht getroffen wird, das heißt \(g(y)\neq z\) für alle \(y\in Y\). Das Ziel ist jetzt, ein \(y'\in Y\) zu konstruieren mit \(g(y')=z\), das wäre dann der gesuchte Widerspruch. Dazu benutzen wir die Surjektivität von \(g\circ f\). Nach dieser muss es ein \(x\in X\) geben mit \((g\circ f)(x)=g(f(x))=z\). Setze jetzt \(y'=f(x)\in Y\), dann gilt \(g(y')=z\), genau das, was wir wollten. Damit haben wir also einen Widerspruch erreicht. Also muss \(g\) surjektiv sein.

Beim zweiten Bewies arbeiten wir ähnlich, wieder per Widerspruch. Überleg dir, dass die Verneinung von "\(f\) ist inektiv" lautet: Es gibt \(x_1,x_2\in X\) mit \(x_1\neq x_2\) und \(f(x_1)=f(x_2)\). Jetzt können wir \(g\) auf diese Gleichung anwenden und erhalten \(g(f(x_1))=g(f(x_2))\), also \((g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2)\). Aber \(g\circ f\) ist injektiv, also können wir die Definition der Injektivität anwenden und erhalten \(x_1=x_2\). Das ist ein Widerspruch zu \(x_1\neq x_2\).