Erklärung der Lösung

Aufrufe: 53     Aktiv: 13.05.2021 um 14:49

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Hallo, kann mir bitte jemand beide Beweise erklären? Also bei dem ersten verstehe ich nicht, wieso f(x)∈y und g(f(x))=z im Widerspruch zur Wahl von z seien. Und den zweiten Beweis verstehe ich irgendwie gar nicht, wieso g○f nicht injektiv sei..also wieso nimmt man f(x_1)=f(x_2) dafür, dass das nicht injektiv ist
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Beim ersten Beweis: Der Beweis wird per Widerspruch geführt. Wir nehmen also an, dass \(g\) nicht surjektiv ist. Surjektivität heißt ja, dass jedes Element der Bildmenge getroffen wird. Ist \(g\) also nicht surjektiv, muss es ein \(z\in Z\) geben, das nicht getroffen wird, das heißt \(g(y)\neq z\) für alle \(y\in Y\). Das Ziel ist jetzt, ein \(y'\in Y\) zu konstruieren mit \(g(y')=z\), das wäre dann der gesuchte Widerspruch. Dazu benutzen wir die Surjektivität von \(g\circ f\). Nach dieser muss es ein \(x\in X\) geben mit \((g\circ f)(x)=g(f(x))=z\). Setze jetzt \(y'=f(x)\in Y\), dann gilt \(g(y')=z\), genau das, was wir wollten. Damit haben wir also einen Widerspruch erreicht. Also muss \(g\) surjektiv sein.

Beim zweiten Bewies arbeiten wir ähnlich, wieder per Widerspruch. Überleg dir, dass die Verneinung von "\(f\) ist inektiv" lautet: Es gibt \(x_1,x_2\in X\) mit \(x_1\neq x_2\) und \(f(x_1)=f(x_2)\). Jetzt können wir \(g\) auf diese Gleichung anwenden und erhalten \(g(f(x_1))=g(f(x_2))\), also \((g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2)\). Aber \(g\circ f\) ist injektiv, also können wir die Definition der Injektivität anwenden und erhalten \(x_1=x_2\). Das ist ein Widerspruch zu \(x_1\neq x_2\).
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