Lösungsmenge bestimmen (harmonische Funktionen)

Aufrufe: 39     Aktiv: 24.09.2021 um 12:35

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In dieser Aufgabe soll die Lösungsmenge bestimmt werden. Bei der Lösung kann ich jedoch nur bis zur vierten Zeile folgen. 

Meine erste Frage wäre, warum aus cos(x) auf einmal cos(x+2*k*Pi) wird. Ich hätte bei 2*Pi einen Rückschluss auf das Bogenmaß geschlossen. Wäre k dann einfach nur eine Variable?

Die zweite Frage wäre, warum in der sechsten Zeile das cos verschwindet und rechts vom Gleichheitszeichen auf einmal +/-  Pi durch 6 steht und nicht mehr Wurzel 3 durch 2.

 

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Hallo,

der Kosinus ist 2$\pi$-periodisch. Das bedeutet, dass wenn wir ein Vielfaches von 2$\pi$ zu $x$ addieren, erhalten wir den selben Wert. 
$$ \cos(x) = \cos(x+2\pi) = \cos(x+4\pi) = \cos(x+6\pi) = \ldots $$
Das müssen wir berücksichtigen, da wir sonst nicht alle Lösungen finden. Deshalb betrachten wir allgemein $\cos(x+2k\pi)$

Wenn du dir den Verlauf vom Kosinus einmal anguckst, dann wirst du sehen, dass es in jedem Intervall der Länge $2\pi$, zu jedem $y$-Wert (außer zu den Hoch und Tiefpunkten) immer 2 $x$-Werte gibt. Da der Kosinus Achsensymmetrisch ist, finden wir im Intervall $[-\pi,\pi]$ eine Lösung durch den Taschenrechner ($\cos^{-1}(\frac {\sqrt3} 2) = \frac \pi 6 $) und die andere durch einen Vorzeichenwechsel.  

Grüße Christian
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