Du formst um zu \(r=s+\frac15.\) Das setzt du nun in die erste Ebene für \(r\) ein:

\(X=(3,1,5)+(s+\frac15)(2,-1,0)+s(-1,0,3)\).

Wenn du jetzt die Klammer ausmultiplizierst und die Terme mit dem \(s\) zusammenfasst, kommdt du suf die Lösung.

Hey stern,

du hast eine Gleichung mit 2 Unbekannten, die du also nicht direkt lösen kannst. Folglich stellst du die Lösung in Abhängigkeit einer deiner Variablen dar. Sei \( s = t \in \mathbb{R} \) eine beliebige Zahl. Demnach gilt \( r = \frac{1}{5} + t \).

Das setzt du nun in deine Ebene \( E_1 \) für deine beiden Parameter \( r \) und \( s \) ein und erhältst:

\( g: \vec{x}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + (\frac{1}{5} + t)  \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \)

Jetzt kannst du das ganze ausmultiplizieren und erhältst:

\( g: \vec{x}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + \frac{1}{5}  \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \)

Durch zusammenfassen folgt wiederum (beachte Addition von Brüchen beim Zusammenfassen)

\( g: \vec{x}=\begin{pmatrix} \frac{17}{5} \\ \frac{4}{5} \\ \frac{25}{5} \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \)

Nun kannst du aus dem ersten Vektor wiederum \( \frac{1}{5} \) rausziehen und erhältst die von deinem Lehrer angegebene Lösung, die die Schnittgerade deiner beiden Ebenen beschreibt.