Wann ist eine Abbildung injektiv, surjektiv, bijektiv ?

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Hallo,

ich habe derzeit noch Verständnisprobleme wie ich bestimmen kann, ob ein Vektorraum injektiv, surjektiv oder bijektiv ist. Ich weiß, dass \(injektiv \land surjektiv \rightarrow bijektiv\) 

 

Könnt ihr mir das etwas genauer erklären und wie bzw. ob ich das irgendwie herleiten kann?

 

Lieben dank

gefragt 3 Monate, 2 Wochen her
janaselb
Punkte: 16

 
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1 Antwort
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Hallo,

ein Vektorraum ist niemals injektiv, surjektiv oder bijektiv. Das sind Eigenschaften von Abbildungen und nicht von algebraischen Strukturen. 

Allerdings gibt es da im Allgemeinen kein wirkliches Kochrezept dafür. Die Injektivität ist eine Eigenschaft der Funktion und des Definitionsbereichs. Meistens betrachtet man zwei Funktionswerte \( f(x) \) und \( f(y) \) und setzt diese gleich. Wenn am Ende \( x= y \) herauskommt, ist die Funktion injektiv. Andernfalls eben nicht. 
Die Surjektivität ist eine Eigenschaft des Wertebereichs und der Funktion. Du betrachtest den Wertebereich und überprüfst, ob die Funktion alle diese Werte annimmt. Bei vielen Abbildungen kann dafür das Bild berechnet werden. 

Ich hab das mit dem Definitions- und Wertebereich gesagt, weil man bei jeder Funktion den Definitionsbereich so einschränken könnte, sodass die Funktion injektiv wird und ebenfalls den Wertebereich so einschränken könnte, sodass die Funktion surjektiv wird. 

Vielleicht hast du eine Beispielaufgabe die wir gemeinsam durchgehen können?

Grüße Christian

geantwortet 3 Monate, 2 Wochen her
christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 25.85K
 
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