Aufgabe zum Konvergenzverhalten von Folgen

Aufrufe: 53     Aktiv: 29.06.2021 um 16:36

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Aufgabe: Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten der zur Folge d gehöhrenden Reihe: d = ((n)^(1/n) - 1)^2  ///// (n)^(1/n) = n-te Wurzel aus n

Ich hab die Aufgabe schon mit allen möglichen Kriterien versucht (Quotientenkriterium, Wurzelkriterium) bin aber immer noch auf kein Ergebnis gekommen. Wäre dankbar über jede Hilfe.

Vielen Dank im Vorraus!
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Meinst du die Folge $d_n=(\sqrt[n]{n}-1)^2$ oder die Reihe $\sum_{n=1}^\infty(\sqrt[n]{n}-1)^2$? Weil erst sprichst du von Folgen, aber dann erwähnst du Quotienten- und Wurzelkritierium, was ja Kriterien bei Reihen sind.   ─   stal 29.06.2021 um 15:09

Ich meinte das Konvergenzverhalten der zu der Folge d gehörenden Reihe. Sorry da hab ich mich leider in der Aufgabenstellung verschrieben
:/
  ─   fragenzurmathe123 29.06.2021 um 15:20
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Alles klar. Schreibe $a_n=\sqrt[n]n-1$, um die Ausdrücke etwas übersichtlicher zu halten. Nach dem Binomischen Lehrsatz gilt für $n\geq 3$, dass \begin{align*}n&=(1+a_n)^n=\sum_{k=0}^n\binom nka_n^k=1+na_n+\frac{n(n-1)}{2}a_n^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{6}a_n^3+\underbrace{\sum_{k=4}^n\binom nka_n^k}_{\geq 0}\\&\geq1+na_n+\frac{n(n-1)}{2}a_n^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{6}a_n^3\overset{a_n\leq1}\geq1+na_n^3+\frac{n(n-1)}{2}a_n^3+\frac{n(n-1)(n-2)}{6}a_n^3\\&=1+\frac{n^3+5n}{6}a_n^3,\end{align*} also umgestellt $$a_n^3\leq \frac{6(n-1)}{n^3+5n}\leq\frac{8n}{n^3}=\frac8{n^2}\Longrightarrow d_n=a_n^2\leq\left(\frac8{n^2}\right)^{\frac23}=\frac4{n^{4/3}}.$$ Jetzt kannst du das Majorantenkriterium anwenden.
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Vielen lieben Dank!   ─   fragenzurmathe123 29.06.2021 um 16:33

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