Alles klar. Schreibe $a_n=\sqrt[n]n-1$, um die Ausdrücke etwas übersichtlicher zu halten. Nach dem Binomischen Lehrsatz gilt für $n\geq 3$, dass \begin{align*}n&=(1+a_n)^n=\sum_{k=0}^n\binom nka_n^k=1+na_n+\frac{n(n-1)}{2}a_n^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{6}a_n^3+\underbrace{\sum_{k=4}^n\binom nka_n^k}_{\geq 0}\\&\geq1+na_n+\frac{n(n-1)}{2}a_n^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{6}a_n^3\overset{a_n\leq1}\geq1+na_n^3+\frac{n(n-1)}{2}a_n^3+\frac{n(n-1)(n-2)}{6}a_n^3\\&=1+\frac{n^3+5n}{6}a_n^3,\end{align*} also umgestellt $$a_n^3\leq \frac{6(n-1)}{n^3+5n}\leq\frac{8n}{n^3}=\frac8{n^2}\Longrightarrow d_n=a_n^2\leq\left(\frac8{n^2}\right)^{\frac23}=\frac4{n^{4/3}}.$$ Jetzt kannst du das Majorantenkriterium anwenden.