Grenzwertberechnung Beweis

Erste Frage Aufrufe: 326     Aktiv: 29.07.2023 um 16:25

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Ich würde diese Aufgabe normalerweise unter Anwendung von l'hospital machen, aber das wäre zu kompliziert.
Könnte man irgendwie die Taylorreihe von cos benutzen um diese Gleichung zu beweisen ?

EDIT vom 28.07.2023 um 12:35:

Ich würde diese Aufgabe normalerweise unter Anwendung von l'hospital machen, aber das wäre zu kompliziert.
Könnte man irgendwie die Taylorreihe von cos benutzen um diese Gleichung zu beweisen ?

EDIT vom 29.07.2023 um 12:16:

Ich habe jetzt einmal den Zähler und den Nenner abgeleitet. Jetzt müsste ich ja nochmal l'hospital anwenden. Kann ich jetzt für den Zähler einfach die Produktregel anwenden ?

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Bild ist nicht sichtbar   ─   fix 27.07.2023 um 22:19
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Schöne Aufgabe. L'Hospital ist hier das beste. Wir brauchen aber die Ableitung von \(f(x)=\cos x\cos (2x)\ldots \cos (12x)\).
Die findet man durch "logarithmisches Ableiten" (war vermutlich in der Vorlesung dran), d.h. man leitet \(\ln f(x)\) ab (und frischt vorher, falls nötig, die Rechenregeln für \(\ln\) auf). Mach das und Du findest $f'(x)$. Danach wird's einfacher und geht mit l'Hospital durch.
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Lehrer/Professor, Punkte: 39.36K

 

Ich habe einmal logarithmisch abgeleitet komme aber trotzdem nicht weiter. Vorallem nicht wie in der Aufgabe gewünscht auf wenigen Zeilen.   ─   user43c37b 29.07.2023 um 12:25

Soweit ist alles richtig. Wenn Du die Notation mit f(x) benutzt und das Summenzeichen, wird es übersichtlicher.
So, jetzt nochmal l'Hospital und dann bist Du durch (siehst Du ja am Nenner). Du musst dann aber noch eine Summe ausrechnen.
  ─   mikn 29.07.2023 um 13:10

Vielen Dank, hab es jetzt hinbekommen mit der Summen- und Produktschreibweise.   ─   user43c37b 29.07.2023 um 14:10

Gut, freut mich. Ich wüsste nicht wie es mit weniger Schreibarbeit geht. Man muss ja am Ende so oder so auf die 325 kommen - das ist schon eine Zahl, die nicht so schnell aus kurzen Umformungen entsteht.   ─   mikn 29.07.2023 um 14:12

Ja, das ist die Idee mit der Taylorreihe, die das Fragy auch schon hatte. Ist auch nicht ganz trivial, aber geht natürlich. Schlampiges kann ich da gar nicht entdecken. Man könnte auch einfach $\cal O(x^4)$ anstelle $R_k(x)$ und später $Q(x)$ schreiben.   ─   mikn 29.07.2023 um 16:25

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