Variationsrechnung, Brachistochrone

Aufrufe: 101     Aktiv: 11.02.2024 um 21:09

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Das Brachystochronenproblem, Variationsrechnung #4 (youtube.com)
Hier wird die Parameterdarstellung des Zykloides hergeleitet.

Zudem möchte ich die analytische Gleichung herleiten. Lt. Wikipedia is diese: x=r*arccos(1-y/r)-sqrt(y*(2r-y)) Zykloide – Wikipedia
Meine folgenden Schritte: 
Herleitung der DGL: y(1+y'²)=a
Mein Ergebnis: x=-ap/(p²+1)-arctan(p) mit p=sqrt((a/y)-1)
Mit Umstellung von arctan auf arccos erhalte ich: x=sqrt(y(a-y)-a*arccos(sqrt(y/a)).
Dieses Ergebnis ist offenbar nicht korrekt, da der Nullpunkt (x=0,y=0) mit arccos(sqrt(y/a)) nicht berechnet werden kann.
Wie kann ich die korrekte analytische Gleichung herleiten?
Es reicht auch ein Hinweis auf ein pdf-Dokument.

Das Problem muß nicht dringend gelöst werden.
Vielen Dank für ihre Hilfe.
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1 Antwort
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Irgendwas stimmt mit Deiner Lösung in der Tat nicht. Denn wenn y klein ist, muss, laut der Differentialgleichung, y' betragsmäßig groß werden.
Deine Lösung konvergiert aber für kleine y gegen \(-\pi/2\), und eine Funktion, die als Asymptote die Konstante \(-\pi/2\) hat, hat vermultich eine Ableitung, die gegen 0 konvergiert.
Ich habe Deine Lösung grafisch dargestellt; die erinnert nicht an eine Zykloide.

Die analytische Lösung wird in der Wikipedia nicht aus der Differentialgleichung gewonnen.
Stattdessen stellt man erstmal die Parameterdarstellung auf.
Dies wiederum macht man nach Art der Physiker, indem man sich vorstellt, ein Rad mit Radius r rolle die x-Achse entlang.
Die Winkelgeschwindigkeit des Rades sei \(\omega=-1\).
Das Rad stehe zur Zeit t=0 bei x=0.
Nun betrachte man denjenigen Punkt \((x,y)\) auf dem Rad, der zur Zeit t=0 beim Koordinatenursprung liegt.
Dann bewegt sich die Mitte des Rades (die Achse) mit Geschwindigkeit r, die Achse hat also die Koordinaten (rt,r).
Der Winkel \(\phi\) von \((x,y)\) in Bezug auf die Achse ist zur Zeit t=0 gleich \(\phi_0 = -\pi/2\).
Dann gilt \(\phi = \phi_0+\omega t = -\pi/2-t\).
Wäre die Achse im Koordinatenursprung verankert, dann hätte  \((x,y)\) die Koordinaten \((r\cos(\phi), r\sin(\phi))\) (Polarkoordinaten), was gleich
\((-r\sin(t), -r\cos(t))\) ist.
Da die Achse sich bewegt, addieren sich die beiden Bewegungen: \((x,y) = (rt-r\sin(t), r-r\cos(t)) = (r(t-\sin(t)), r(1-\cos(t)))\).
Daraus gewinnt man dann eine Funktion \(x(y)\), indem man \(y=r(1-\cos(t))\) nach t auflöst und das dann in \(x=r(t-\sin(t))\) einsetzt.
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Vielen Dank für Deine ausführliche Antwort. Die analytische Gleichung werde ich auf Basis Deiner Dokumentation über die Parameterdarstellung herleiten. Falls Du weißt, warum die Lösung über die DGL nicht funktioniert (zumal diese sehr ähnlich ist), bitte hier noch kommentieren.   ─   usera25392 11.02.2024 um 15:31

Man kann sicherlich die Lösung auch über die Differentialgleichung herausbringen. Irgendwo beim Lösen musst Du Dich verrechnet haben, denn setzt man Deine Lösung in die Differentialgleichung ein, so stimmt diese nicht.
Hier eine PDF, in der diese DLG gelöst wird: https://www.mathe-gut-erklaert.de/pdfs/000_Brachistochrone.pdf , Abschnitt 3.2.3
  ─   m.simon.539 11.02.2024 um 21:09

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