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Moin,
ja, die gibt es. Nach dem Lemma von Gauß muss jede rationale Nullstelle ganz und ein Teiler des Absolutglieds sein, die Kandidaten sind also 1, -1, 3, -3, 7, -7, 21, -21. Wenn du so eine Nullstelle findest, kannst du Polynomdivision durchführen und das quadratische Restpolynom per p-q-Formel auf Nullstelle prüfen..
LG
Alternativ könnte man die Formel zu Wurzeln kubischer Polynome verwenden, das wird dann allerdings recht aufwendig
ja, die gibt es. Nach dem Lemma von Gauß muss jede rationale Nullstelle ganz und ein Teiler des Absolutglieds sein, die Kandidaten sind also 1, -1, 3, -3, 7, -7, 21, -21. Wenn du so eine Nullstelle findest, kannst du Polynomdivision durchführen und das quadratische Restpolynom per p-q-Formel auf Nullstelle prüfen..
LG
Alternativ könnte man die Formel zu Wurzeln kubischer Polynome verwenden, das wird dann allerdings recht aufwendig
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fix
Student, Punkte: 2.18K
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Ja jede rationale, aber nur weil Polynom normiert
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mathejean
10.06.2022 um 16:57
Soso, wenn das so ist, dann vermisse ich in der Liste der Kandidaten einige: z.B. 1/21, 3/7, und viele mehr. Die sind auch Teiler von 21. Also, so wie es da steht, "die Kandidaten sind also...", ist es unvollständig.
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mikn
10.06.2022 um 17:12
Ist \(A\) faktoriell, \(k\) der Quotientenkörper von \(A\) und \(\frac pq\in k\), \(\operatorname{ggT}(p,q)=1,\) eine Nullstelle von \(a_n X^n+\ldots +a_0 \in A[X]\), so gilt \(p|a_0\) und \(q|a_n\). Also ist die Liste vollständig
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mathejean
10.06.2022 um 17:35
Die Begründung ist unvollständig, ich habe nicht gesagt, die Liste ist unvollständig. Denn es ist nicht so (wie fix zunächst schreibt), dass jede rationale Zahl, die Teiler von 21 ist, Kandidat ist. Das weißt Du doch auch genau. So steht es auch bei Gauss nicht, der würde sich im Grabe umdrehen.
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mikn
10.06.2022 um 17:50
Achso, ich sehe, fix hätte schreiben müssen jede rationale Nullstelle ist ganz und ein Teiler von 21. Ich habe nur an Teilbarkeit in den Ring gedacht und fix deshalb auch so verstanden, aber du hast natürlich recht, das es nicht richtig geschrieben ist
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mathejean
10.06.2022 um 17:54
Ja das stimmt, ich dachte das sei nun offensichtlich. In der Schule wird ja oft ein Teil des Gaußschen Lemmas als "Satz über ganzzahlige Nullstellen" eingeführt, eben genau bei normierten Polynomen.
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fix
10.06.2022 um 18:25
Wie Ihr beide wisst, ist für die Frager hier im Forum so gut wie nichts offensichtlich. Wenn man ein Lemma über ganzzahlige Nullstellen aus der Schule voraussetzt (gewagt, aber meinetwegen), warum dann hier von rationalen reden? Und die Normierung MUSS auch erwähnt werden, Ihr wisst doch auch, wie oft hier gefragt wird, ob man die pq-Formel auch für nicht-normierte Polynome anwenden kann und ähnliches.
Wenn fix oben direkt von ganzzahligen Nullstellen geredet hätte (in dieser Form wurde das Lemma hier öfter mal zitiert), hätte ich mich gar nicht eingeschaltet (auch wenn ohne erwähnte Normierung). Aber rationale??? ─ mikn 10.06.2022 um 20:21
Wenn fix oben direkt von ganzzahligen Nullstellen geredet hätte (in dieser Form wurde das Lemma hier öfter mal zitiert), hätte ich mich gar nicht eingeschaltet (auch wenn ohne erwähnte Normierung). Aber rationale??? ─ mikn 10.06.2022 um 20:21
Und die Antwort "ja, die gibt es", und dann diese Regel zitieren ist irreführend. Denn das ist keine Methode, die immer zum Ziel führt. Dann sind nur die auch später erwähnten aufwendigen Formeln. ─ mikn 10.06.2022 um 16:00