Zu Aufgabe 1: Zu einem Vektorraum gehören neben der Menge der Vektoren ja immer zwei Operationen. Eine nennt man üblicherweise "Addition", es ist eine Abbildung \(L_N\times L_N\to L_N\) (mit bestimmten Eigenschaften, siehe Definition) die andere "Skalarmultiplikation", eine Abbildung \(\mathbb R\times L_N\to L_N\) (wieder mit bestimmten Eigenschaften). Im Allgemeinen muss das aber nichts mit einer Addition oder Multiplikation zu tun haben, deshalb muss man sich überlegen, welche Operationen die Menge zu einem Vektorraum machen. Hier ist das allerdings ziemlich langweilig, man nimmt einfach die normale Funktionsaddition und Skalarmultiplikation von Funktionen: Für \(f,g\in L_N\) und \(\lambda\in\mathbb R\) können wir für definieren $$f+g:\mathbb R\to\mathbb R,\quad (f+g)(x):=f(x)+g(x)\quad\text{ für alle }x\in\mathbb R,$$$$\lambda f:\mathbb R\to\mathbb R,\quad(\lambda f)(x):=\lambda f(x)\quad\text{ für alle }x\in\mathbb R.$$ Rechne nach, dass diese beiden Operationen alle Eigenschaften erfüllen, die ein Vektorraum fordert, insbesondere auch, dass \(f+g,\lambda f\in L_N\) gilt.

Zu Aufgabe 2: Was passiert für \(k=0\)? Ist die Menge also linear unabhängig? Welche Vektoren musst du ggf. weglassen, damit sie linear unabhängig wird?