(Twitter)
Hallo!
\(\displaystyle y'(t) = 2ty(t) \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{1}{y}\,\mathrm{d}y = 2t\,\mathrm{d}t \quad\Longleftrightarrow\quad \ln\vert y\vert \overset{\star}{=} t^2 + \bar{C} \quad\Longleftrightarrow\quad y = C\cdot \mathrm{e}^{t^2}\).
\(\displaystyle \star\): Die Integationskonstante auf der linken Seite der Gleichung wurde „rübergeholt“ und mit den anderen Konstanten zu einer Konstanten zusammengefasst. Außerdem ist \(\displaystyle \mathrm{e}^C\) mit \(\displaystyle C = \text{const.}\) sowieso nur eine Konstante – denn fasst man sie als Konstante auf, lässt sie sich erst bestimmen und vor allem einfach dazu.
Wegen \(\displaystyle y(2) = 4\) erhält man, dass
\(\displaystyle C = \frac{4}{\mathrm{e}^4}\) und somit die Funktion
\(\displaystyle y(t) = \frac{4}{\mathrm{e}^4}\mathrm{e}^{t^2}\)
die gesuchte spezielle Lösung ist.
Gruß.
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1.57K
Hey, vielen Dank erstmal für dein Antwort.
Da es sehr knapp gehalten ist nochmal eine Nachfrage ob ich das richtig verstanden habe:
Du hast die Stammfunktion der gegebenen Ableitung y'(t) = 2ty(t) gerechnet.
Aber wie kommst du auf $$ C \cdot \mathrm{e}^{t^{2}} $$
Die Stammfunktion wäre ja eigentlich t^2 + c
Verstehe daher nicht wie genau du auf C * statt C + kommst und woher kommt die e-Funktion genau?
Jedenfalls hast du dann in die Funktion t=2 eingesetzt und es nach C aufgelöst, sodass du C hast und in die Funktion einsetzen kannst?
Geht man bei speziellen Lösungen immer so vor?
─ SerCan 22.06.2019 um 05:22