Relationen und komplexe Zahlen

Aufrufe: 573     Aktiv: 20.01.2022 um 16:49
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Auf der Menge C der komplexen Zahlen sei
die Relation R gegeben durch: z1 R z2, falls z1^2 -  z2^2 eine reelle Zahl ist.
Untersuchen Sie, welche Eigenschaften einer Äquivalenzrelation die Relation R hat.

Eine Äquivalenzrelation zu bestimmen und mit komplexen Zahlen zu rechnen bereitet mir, getrennt voneinander, keine Sorgen, aber hier stoße ich gerade ans Ende meiner mathematischen Komfortzone.
Danke fürs Helfen.

Fabian

EDIT vom 18.01.2022 um 20:32:


Lösung
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Punkte: 18

 
Ich habe jetzt einfach mal für z1^2 und z2^2 i^2 gewählt.
Da bekomme ich ja dann für z1^2-z2^2= i^2-i^2= 0
Nun gilt es ja rauszfinden ob die Relation reflexiv, symmetrisch oder transitiv ist.
Reflexivität ist ja gegeben, wenn z1^2-z2^2= i^2-i^2= 0 gilt.
Symmetrie ist ebenfalls gegeben, da z1^2-z2^2=-z2^2+z1^2=-i^2+i^2=0 gilt.
Für die Transitivität müsste ja z1^2-z3^2=i^2-i^2=0 gelten.
Ich hab aber s Gefühl, dass das nicht hinhaut...
   ─   fabian1609 18.01.2022 um 15:44
Mit ((1+i)^2)-((1+i)^2) komme ich aufs gleiche.
  ─   fabian1609 18.01.2022 um 16:27
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1 Antwort
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Ich hab den Eindruck Du hast noch nicht wirklich an Beispielen die ÄR-Eigenschaften nachgewiesen. Selbst die Reflexivität (das einfachste der drei) wendest Du falsch an.
Hier geht es um eine Relation auf C, als Beispiel nimmt man also für z1, z2 komplexe Zahlen.
Ich wüsste aber nicht warum hier Beispiele braucht. Die sind genauso einfach oder eher komplizierter als der allgemeine Fall.
Schau Dir genau die Bedingungen an, und halte Dich penibel genau daran. Keine Abweichungen. Und überall da, wo R steht, setzt Du die Def. unserer Relation ein.
Es ist wie die meisten Nachweise von ÄR mehr eine Schreibübung als was anderes.
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geantwortet

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Danke für Deine Antwort.
Mich verwirrt einfach die Aufgabenstellung. Habe ich gegebene Zahlenwerte und muss Mengen "sortieren", gibts auch keine Probleme mit den ÄRs.
Werde es noch mal versuchen und mich später melden. Ich stehe mir wahrscheinlich wieder selber im Weg...   ─   fabian1609 18.01.2022 um 17:04
Hab ne Lösung hochgeladen   ─   fabian1609 18.01.2022 um 20:32
Entschuldige die lausige Qualität, wenn man (noch) keinen Scanner hat.
Ich finde die Aufgabe auch irgendwie kompliziert und mache es mir entsprechend umständlich.
Mein erster Gedanke war einfach für z=i einzusetzen, denke aber, dass der Weg dann ins nichts führt.   ─   fabian1609 18.01.2022 um 22:21
Ich traue mich fast nicht, da ich mir langsam doof vorkomme....
Z1=1
Z2=1
Z1^2=1
Z1^2=1

Z1^2-Z1^2=1-1=0

Reflexivität: z1Rz1 z2Rz2
Z1^2-Z1^2=1-1=0 z1Rz1
Z2^2-Z2^2=1-1=0 z2Rz2

Symmetrie: z1Rz2 z2Rz1
Z1^2-Z2^2=1-1=0 z1Rz2
Z2^2-Z1^2=1-1=0 z2Rz1

Transitiv: z1Rz3
Z1^2-Z2^2=1-1=0 z1Rz2
Z2^2-Z3^2=1-1=0 z2Rz3

In der Hoffnung, dass nun was daraus geworden ist.


  ─   fabian1609 20.01.2022 um 15:31
So?
Reflexiv, denn es gilt (Z1, Z1) e R und (Z2, Z2) e R.
Probe: Z1^2-Z1^2 = 0, 0 e R wahr.
Z2^2-Z1^2 = 0, 0 e R wahr.
Symmetrisch, denn es gilt: ( Z1, Z2) e für alle R und (Z2, Z1) e R.
Probe: Z1^2-Z2^2 = 0, 0 e R wahr
Z2^2-Z2^2 = 0, 0 e R wahr

Transitiv, denn es gilt: (Z1RZ2) (Z2RZ3), dann gilt (Z1RZ3).
  ─   fabian1609 20.01.2022 um 15:55

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