Hallo,

für \(n=0\) bis \(n=10\) einsetzen. Du wirst feststellen, dass die Ungleichung für \(0\), \(1\) und \(10\) gilt, aber für \(2\) bis \(9\) nicht. Dann ist \(n=10\) dein Induktionsanfang, weil du vermutest, dass es für \(n\geq10\) gilt. Dein Induktionsschritt ist:

$$2^{n+1}=2^n\cdot2>n^3\cdot2=n^3+n^3\geq n^3+10n^2\geq n^3+3n^2+3n^2+n^2\geq n^3+3n^2+3n+1=(n+1)^3$$

Dabei benutzt du für die erste Ungleichung die Induktionsvoraussetzung:

$$2^n>n^3.$$

Dann benutzt du, dass \(n\geq10\) gilt und weil \(n^2\geq0\) ist, folgt daraus:

$$n^3=n\cdot n^2\geq 10\cdot n^2.$$

Dann lässt du \(3n^2\geq0\) weg und dann benutzt du, dass \(n^2\geq n\geq 10\geq1\) gilt, also insbesondere:

$$3n^2\geq 3n$$

und

$$n^2\geq 1.$$

Dann nutzt du den binomischen Lehrsatz und fasst zusammen und bist fertig, weil du die Ungleichung für \(n+1\) gezeigt hast! 

Jetzt alles klar? ;)

Habe auch mal über das Problem philosophiert und die Lösung noch nicht so ganz nachvollziehen könnnen. Kann es vielleicht jemand nochmal etwas genauer erklären? -.-

Danke :)

Super! Danke für die ausführliche Antwort,  und ja ich hab´s jetzt auch verstanden :)