Berechnen Sie für A das Integral in R^3:

Aufrufe: 115     Aktiv: 21.01.2024 um 19:47

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Hallo zusammen - ich habe eine Frage zur Folgenden Aufgabe:



Ich bin mir nicht sicher, ob ich das richtig berechnet habe - insbesondere, ob ich die Integralgrenzen so richtig gesetzt habe. Ich wäre folgendermaßen vorgegangen:

 

Zylindrischen Koordinaten \( (r, \theta, z) \), wobei \( r \) der Abstand zur \( z \)-Achse, \( \theta \) der Winkel in der \( x y \)-Ebene und \( z \) die \( z \)-Koordinate ist:

 

\( \int \limits_{A} \frac{z}{1+x^{2}+y^{2}} d \mathcal{L}^{3}=\int \limits_{0}^{2 \pi} \int \limits_{\frac{1}{2}}^{1} \int \limits_{0}^{2} \frac{z}{1+r^{2}} r d z d r d \theta \)
\( \begin{array}{c}\int \limits_{0}^{2 \pi} \int \limits_{\frac{1}{2}}^{1} \int \limits_{0}^{2} \frac{z}{1+r^{2}} r d z d r d \theta=\int \limits_{0}^{2 \pi} \int \limits_{\frac{1}{2}}^{1}\left[\frac{z^{2}}{2\left(1+r^{2}\right)}\right]_{0}^{2} d r d \theta \\ =\int \limits_{0}^{2 \pi} \int \limits_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{2}{1+r^{2}} d r d \theta\end{array} \)

\( \begin{array}{c}\int \limits_{0}^{2 \pi}[2 \arctan (r)]_{\frac{1}{2}}^{1} d \theta=\int \limits_{0}^{2 \pi} 2\left[\arctan (1)-\arctan \left(\frac{1}{2}\right)\right] d \theta \\ \quad=\int \limits_{0}^{2 \pi} 2\left[\frac{\pi}{4}-\arctan \left(\frac{1}{2}\right)\right] d \theta=2 \pi\left[\frac{\pi}{4}-\arctan \left(\frac{1}{2}\right)\right]\end{array} \)

 

Habe ich das so richtig gemacht??

 

LG Euler

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Die Untergrenze für r ist \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), nicht \(\frac{1}{2}\). Denn es ist ja \(\frac{1}{2} \le x^2+y^2 \le 1 \;\Leftrightarrow \;\frac{1}{2} \le r^2 \le 1 \;\stackrel{r\ge 0}{\Leftrightarrow} \frac{1}{\sqrt{2}} \le r \le 1\).
Möglicherweise musst Du bei Deinem ersten Integral hinter "\(d\cal L^3\)" ein "\((x,y,z)\)" schreiben - ich kenne diese Schreibweise leider nicht.
Ansonsten ist m.E. alles richtig.
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Danke dir vielmals für deine Antwort und Hilfe!
LG Euler
  ─   euler03 21.01.2024 um 19:47

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