Oberflächenintegral geeignetes Vektorfeld finden

Aufrufe: 33     Aktiv: 22.02.2021 um 13:31

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Hallo, ich bin mir etwas unsicher wie ich Aufgabe (ii) lösen sollte. Also bisher habe die Parametrisierung x(v,u) = (u,v,3-u-v) mit B={ (v,u) | u+v<= 3, u,v>=0} 
Der Normalenvektor bzw das Kreuzproduk ist bei mir (-1, -1, -1) 
Daraus folgt die Berechnung 
Oberflächen Integral über A  = Integral(0 bis 3) Integral(0 bis -u) von Skalarprodukt( f(x(v,u) , (-1,-1,.1) ) dvdu 
Sollte bis hierhin alles richtig sein, dann ist meine Frage, ob ich für den positiven Fall das Vektorfeld [u,u,u] wählen kann? Ich bin mir nicht sicher wie ich überprüfe ob es stetig ist. 

Danke
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Hallo,

die Parametrisierung ist schon mal sehr gut :)
Bei dem Normalenvektor musst du aufpassen. Du brauchst für die Berechnung den normierten Normalenvektor, also

$$ \vec{n} = \frac 1 {\sqrt3} \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ - 1 \end{pmatrix} $$

Wenn es dann zum Oberflächenintegral geht, ist dir auch ein kleiner Fehler unterlaufen. Es ist

$$ O = \int\limits_0^3 \int\limits_0^{3-u} \frac 1 {\sqrt{3}} \begin{pmatrix} u \\ v \\ 3- u -v \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \ \mathrm{d}v\mathrm{d}u $$

Wenn du dir dazu eine Zeichnung machst, siehst du das die Fläche ein Dreieck ist. Mit Hilfe von geometrischen Zusammenhängen, komme ich so mit beiden Methoden auf die selbe Lösung. Das ist immer eine sinnvolle Probe bei solchen Aufgaben. 

Nun ist das Oberflächenintegral eines Vektorfeldes, anschaulich mit dem Fluss des Vektorfeldes durch die Oberfläche zu vergleichen. Das Vorzeichen der Lösung, hängt dabei von der Richtung ab. 
Außerdem ist ein Vektorfeld genau dann stetig, wenn es in jeder Komponente stetig ist (so kann man es auf den 1D Fall übertragen). 

Also ja dein Vektor wäre stetig. Ob er nun ein positives Ergebnis liefert, müsstest du berechnen. Wenn ja, kannst du was mit dem Vektorfeld tun, damit das Ergebnis negativ wird?
Welche Eigenschaft muss ein Vektorfeld haben, damit das Ergebnis Null wird?

Grüße Christian
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