Hallo,

die Ableitungen stimmen. Im Allgemeinen muss man aber auf die Reihenfolge achten. Du hast hier als erstes Differential $\mathrm d\varphi$ also betrachtest du auch im Kreuzprodukt zuerst $\vec x_\varphi$. Das ändert das Vorzeichen in deiner Lösung. 
Manchmal wird als Konvention auch festgelegt, immer die "positive Lösung" zu wählen. Diese Aussage ist aber mit Vorsicht zu genießen, weil nicht ganz eindeutig ist, was die positive Lösung sein soll. wenn die Koeffizienten unterschiedliche Vorzeichen haben.

Ich denke aber, da du prinzipiell keinen Rechenfehler hast, das hier der Fehler in den Vorzeichen liegt.

Und als kleine Anmerkung: Hier wird das vektorielle Oberflächenelement betrachtet und nicht das Skalare :)

Grüße Christian