M liegt auf der Mittelsenkrechten von BD und auf der Mittelsenkrechten von AD. S liegt ebenfalls auf der Mittelsenkrechten von AD, weil wir ein gleichschenkliges Trapez haben. Die Mittelsenkrechte von AB geht durch beide Umkreismittelpunkte, weil AB eine Sehne von beiden Kreisen ist.
Legen wir jetzt eine Parallele von DB durch M, dann bekommen wir einen Schnittpunkt E mit dem kleineren Kreis. Dieser liegt in Bezug auf AD senkrecht über A. Die Mittelsenkrechte zwischen MS geht durch M' (Umkreismittelpunkt kleiner Kreis). Diese Gerade können wir als Symmetrieachse betrachten. Dort wo BS die Mittelsenkrechte  von MS schneidet, das sei Punkt F. Betrachtet man nun die Winkel bei den Diagonalen, folgt, dass das Dreieck MSF gleichschenklig ist. Daraus folgt, dass auch das Dreieck MSM' gleichenklig ist. Die gleichen Schenkel sind der Radius vom kleinen Kreis. Damit ist der Beweis zwar noch nicht erbracht, aber diese Zusammenhänge helfen sicher als Denkanstoss für die Lösung.

Nachtrag: Der Beweis ist eigentlich recht einfach. Wie Du erwähnt hast, hilft der Peripheriewinkelsatz. Der Winkel BSA ist doppelt so gross wie der Winkel ACB. Das sieht man, wenn man eine Parallele zur Grundlinie durch S legt. Nun muss M auf dem Kreis liegen, denn der Winkel AMB (M=Umkreismittelpunkt) muss doppelt so gross sein wie ACB, denn er liegt wie ACB über AB. Zentrale Winkel sind doppelt so gross wie die Winkel an der Peripherie. Der Winkel ASB ist gleich gross wie AMB, wenn M auf dem Kreis liegt, denn die beiden sind Peripheriewinkel des gleichen Kreises über AB.