Skalarprodukt / Kosinussatz für Winkel= 180°

Aufrufe: 492     Aktiv: 05.12.2021 um 19:10

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Liebes Forum,
damals in der Schule hat man sich den Winkel zwischen zwei Vektoren erschlossen über den Kosinussatz für Dreiecke. Auf die Herleitung will ich hier verzichten (ist plausibel).

Jetzt gilt der Kosinussatz aber nur für Dreiecke (demnach muss für den Winkelö gelten, dass es <180° ist). 
Die Winkelformel für zwei Vektoren ist jetzt aber gültig für 0<=y<=180. 

Wieso müssen die Winkel denn nicht echt größer 0 und echt kleiner 180° sein? Die Herleitung über den Kosinussatz dürfte ja für diese beiden Grenzfälle nicht gelten.

Meine Idee ist, dass man dazu die Definition mittels Einheitskreis benutzen kann?

Beste Grüße und danke!
handfeger0
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Die Winkelformel lässt sich als Verallgemeinerung des Kosinussatzes interpretieren, das heißt der Kosinussatz ist einfach ein Spezialfall für Dreiecke. Der Beweis für $\varphi=0^\circ$ bzw. $\varphi=180^\circ$ ist ja relativ einfach. Es gilt dann $\cos(\varphi)=1$ und die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind kollinear, das heißt es gibt ein $\lambda\neq 0$, so dass $\vec{b}=\lambda\vec{a}$. Also gilt $$\frac{|\vec{a}\cdot \vec{b}|}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}=\frac{\lambda|\vec{a}\cdot \vec{a}|}{\lambda |\vec{a}|\cdot |\vec{a}|}=1$$ und damit $\varphi=0^\circ$ oder $\varphi=180^\circ$.
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