Funktionswert einer Funktion bestimmen

Aufrufe: 1673     Aktiv: 09.02.2020 um 23:39

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Hallo, könnte wer zunächst ersteinmal nach sehen ob die Extremwertberechnung richtig ausgeführt wurde, insbesondere bei der Bestimmung der lok. und globalen Extrema. Und mir nachvollziebar die Funktionswerte der Funktion einmal berechenen. 

Ich bedanke mich schonmal RIESIG im Vorraus!!!

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Hallo.

Die Berechnung der lokalen Extrema sieht soweit richtig aus. (Für a=2 ist f(e)=-e(=-2,72) also T(e|-e), sieht besser aus als -2,72)

Bei den globalen Extrema musst du einfach nur die Intervallgrenzen in f(x) (und nicht in  die 1.oder 2. Ableitung) einsetzen und dann diese y werte mit den y-Werten deiner lokalen Extrema vergleichen.

Bei der gegebenen Funktion gibt es nur ein lokales Minimum bei -e.

Grenzwertbetrachtung: f(1)=-2. Da -e<-2 folgt daraus, dass f(x)≥-e. 

f(10)=3,03 es liegt also ein globales Maximum an der rechten Grenze vor, das wiederum heißt, dass y höchstens den Wert 3,03 annimmt. also ist der wertebereich −e≥y≤3,03

Allgemein zum Wertebereich berechnen:

Untersuche die Funktion als erstes auf unstetigkeitsstellen(asymptoten, definitionslücken..) und untersuche das verhalten der funktion an diesen stellen.

Wenn du ein vorgegebenes Intervall hast, dann setzt du die intervallgrenzen ein und guckst ob dort höher/niedrigere Werte als bei deinen lokalen Extrema vorkommen, wenn ja, dann hast du an den Grenzen globale Extrema und nimmst diese y-werte als wertebereichsgrenzen an, ansonsten geben die y-werte deiner lokalen Extrema den Wertebereich an.

Wenn du kein Intervall gegeben hast dann betrachtest du das verhalten der funktion gegen plus und minus unendlich und vergleichst diese werte mit deinen lokalen Extrema.

Ich hoffe die Erklärung hilft dir etwas weiter...

 

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Ist dann nicht T(e;-e) ein globales Minimum und T(1;-2) ein lokales Minimum?   ─   akoethen 09.02.2020 um 00:42

ja, in diesem fall ist T(e|-e) sogar ein globales minimum aber (1|-2) ist kein lokales minimum, da in dem betrachteten intervall gilt: f(e)   ─   sakundo 09.02.2020 um 07:28

Ok verstanden, aber warum ist dann H(10;3,03) ein globales Maximum, das ist doch auch nicht in Abhängigkeit von f(e)?   ─   akoethen 09.02.2020 um 10:19

hmm..ich sehe grad, dass mein letzter kommentar irgendwie einfach mitten drin "abgeschnitten" wurde..eigentlich war der noch deutlich länger.. ja, H ist ein lokales maximum da gilt: f(10)≥f(x) für alle x im betrachteten Intervall
aber da f(e)   ─   sakundo 09.02.2020 um 10:29

Ich glaube der Kommentar wurde wieder abgeschnitten, da nach aber f(e) bestimmt noch eine Erklärung kam   ─   akoethen 09.02.2020 um 10:31

oh man. ja..keine ahnung was hier grad los ist..:-/ anscheinend immer dann wenn ich das kleiner als zeichen benutzen will..

aber da f(e)"kleiner als"f(1) ist (1|-2) kein Minimum
  ─   sakundo 09.02.2020 um 10:37

Eine letzte Frage nochmal der Punkt H(10;3,03) ist der nicht doch ein globales Maximum? Denn nach deiner unteren Erklärung, müsste H ein globales Maximum sein und kein lokales. Ebenfalls müsste T(1;-2) ein lokales Minimum sein.
Ich habe, noch einmal bei ähnlichen Aufgaben nachgeschaut und da wird irgendwie nie geguckt ob die Intervallgrenzen in Abhängigkeit zu xE sind sondern immer nur ob die y Werte der Intervallgrenzen größer oder kleiner der der lok. Extrema sind.
Wäre echt cool wenn du das nochmal verständlich erklären könntest.
  ─   akoethen 09.02.2020 um 12:53

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Jedes globale Maximum ist auch gleichzeitig ein lokales maximum. Ja, H ist sowohl lokales als auch globales maximum, weil gilt f(10)≥f(x).

T(1;-2) ist weder lokales noch globales minimum. Wäre (1;-2) ein minimum, dann müsste gelten: f(1)≤f(x). aber das gilt nicht, da es ja mindestens ein x gibt, so dass gilt f(1)>f(x) z.B: f(e)<f(1)

Und ja, du vergleichst einfach deine Randwerte mit deinen errechneten lokalen Extrema. Wenn z.B dein y-Wert vom Rand niedriger ist als dein lokales Minimum, dann nimmst du den Randwert als Minimum an.(Ist hier aber nicht so)

Wenn dein y Wert vom Rand höher ist als dein Hochpunkt, dann nimmst du diesen Punkt als Hochpunkt.(Da hier ja gar kein Hochpunkt vorliegt ist es ja logisch, dass einer der Randwert dein Hochpunkt sein wird..)

P.S sorry bin grad unterwegs und hab nicht wirklich zeit, deswegen dauert es immer etwas bis ich antworte und die App funktioniert auch irgendwie nicht richtig. hatte nämlich eigentlich schon geantwortet aber die antwort wurde anscheinend nicht gesendet..

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Vielen Dank für die ausführliche Antwort, jetzt habe ich es verstanden!!!   ─   akoethen 09.02.2020 um 15:24

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