Hallo,

betrachten wir mal die Dreiecksungleichung für den Betrag von Zahlen. Für Funktionen ist es im Grunde ja nichts anderes, denn die Voraussetzung ist ja dann, dass wir das gleich \(x\) betrachten. Und das liefert uns dann wieder eine Zahl.

Setze doch vielleicht mal ein paar Zahlen, um ein Gefühl dafür zu bekommen. 

Wenn wir zwei positive Zahlen betrachten, dann gilt für die Dreiecksungleichung sogar die Gleichheit. Denn der Betrag einer positiven Zahl ist ja die Zahl selbst.
Wenn wir eine negative und eine positive Zahl haben, dann erzeugen wir in \( |x+y| \) eine Differenz von zwei positiven Zahlen. Diese Differenz wird nun kleiner sein, als die Summe der Beträge. 
Bei zwei negativen Zahlen, erhalten wir wieder die Gleichheit. 

Das liegt daran, dass wir mit einem Betrag eine Art Länge betrachten. Betrachten wir das ganze mal mit Vektoren aus \( \mathbb{R}^2\).

Nur wenn \( \vec a \) und \( \vec b \) in die selbe Richtung zeigen, haben wir Gleichheit. Denn sonst "gehen wir einen Umweg" und die Summe der Einzelstrecken ist länger. Diesen Gedanken haben wir vorhin schon genutzt, als wir die Vorzeichen betrachtet haben. 

Nun ist eine Norm eine Verallgemeinerung des Betrags (also einer Länge) und ein Vektor eine Verallgemeinerung von so einer Bewegung einem Pfeil. Dieser Grundgedanke des "Umwegs" muss erhalten bleiben, wenn wir von einer Art Länge sprechen. Deshalb muss die Dreiecksungleichung für alle Normen gelten. Auch wenn man es sich nicht mehr so schön vorstellen kann. Die Mathematik lebt im Großen und Ganzen davon, bekannte Konzepte stark zu verallgemeinern um Konsequenzen die nützlich sind auf abstrakte Gebilde zu übertragen. 
Man kann es sich also nicht immer so schön vorstellen wie das ganze aussehen wird. 

Den Betrag von Funktionen können wir aber noch betrachten


Die rote Funktion beschreibt \( |x^2  + x -1| \) und die blaue \( |x^2| + |x-1| \). Die eine Funktion ist immer gleich hoch oder etwas höher. Das ist im Prinzip die Dreiecksungleichung vom Betrag von Funktionen.

Wird es jetzt etwas klarer?

Nun noch zu deinem Beweis: Zu aller erst, werden hier deine Beispielfunktionen gar nicht betrachtet. Denn weder \(x^2 \) noch \( x-1 \) sind beschränkte Funktion. Beide streben ja ins unendliche für sehr große \(x\). 
Beispielsweise wäre \( \sin(x) \) und \( \cos(x) \) so eine Funktion. Auch logistische Funktionen gehören dazu.
Du kannst deine Eigenschaften mit solchen Funktionen mal exemplarisch nachprüfen, um auch hier ein Gefühl dafür zu bekommen.

Aber deine Frage ist ja nicht so wirklich wichtig für den Beweis, außer die Tatsache dass die Dreiecksungleichung für jede Norm gilt. Deshalb sag vielleicht nochmal etwas spezifischer, was du an dem Beweis nicht verstehst, dann versuche ich gerne dort Licht ins Dunkel zu bringen :)

Grüße Christian