Sinn der Errechnung der Normalvektorform

Aufrufe: 62     Aktiv: 31.03.2021 um 12:41

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(Leider beherrsche ich kein Latex, es ist daher schwierig grafisch darzustellen, was ich meine)
Angenommen ich hätte eine Parameterform gegeben => (2 | - 1) + s * (4 | -3)
Und will diese in der Hauptform darstellen = (-3/4)*x + 0.5
Dann könnte ich noch in die allgemeine Geradengleichung umformen = 4y + (3/4)x = 2

Der Sinn ist ja prinzipiell einen Normalvektor (eine Lösungsmenge zu finden), sodass diese Gleichung (Form) orthogonal auf X steht. Dies wäre in Parameterform die Lösung := {(3 | 4) * c} Beispielsweise
Also müsste schlampig gesagt Parameter_normal * Parameter = 0 sein (homogen), sofern nicht_normal(0) != 0, dann müsste das Orthogonalprodukt eben dieses nicht_normal(0) = c entsprechen. Welchen Sinn hätte es jetzt die Normalvektordarstellung auf die Normalvektorform umzurechnen? Also n * x = n * P? Dann würde ich faktisch die Ursprungsfunktion darstellen, oder wäre das einfach gesagt, eine weitere Darstellungsmöglichkeit eine Funktion darzustellen?
Also faktisch würde es dann geben: Hauptform, Parameterdarstellung, Allgemeine Geradengleichung, errechnete Normalvektorform ?

Vielen Dank schon mal :)
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Hallo,

meinst du mit Parameter_normal die Normalenform? 
Ich bin mir nicht ganz sicher, was du mit nicht_normal(0) meinst.

Aber vielleicht hilft dir meine Antwort trotzdem, wenn nicht sag nochmal bescheid:

Sowohl die Parameterform (\( \vec{x}= \vec{O}+ t \vec{r}\)), die Normalenform (\( \vec{n} \cdot \vec{x} = \vec{n} \cdot \vec{p} \)), die Koordinatenform (\(ax+by=c\)), als auch die Funktionsgleichung einer linearen Funktion (\( y=mx+n\))
sind einfach verschiedene Darstellungsformen von Geraden. Also wir können ein und die selbe Gerade auf 4 verschiedene Möglichkeiten darstellen. Je nach Kontext macht eine Darstellung mehr Sinn als eine andere. 

Die Normalenform steht also nicht orthogonal auf beispielsweise der Parameterform. Es sind nur andere Arten eine Gerade zu beschreiben. Eine Gerade besteht aus unendlich vielen Punkten. Wir benötigen also eine Vorschrift, die wiederspiegelt, welche Punkte auf dieser Geraden liegen und welche nicht. Die Vorschriften die wir nutzen, sind Gleichungen. Alle Punkte die diese Gleichungen erfüllen, liegen auf unserer Geraden. Die die es nicht tun, liegen eben nicht auf der Geraden. 

In der Parameterform, müssen wir den Punkt einsetzen und noch überprüfen ob es einen Parameter gibt, der dann unsere Gleichung erfüllt. 

Die Normalenform ist vielleicht in einer anderen Darstellung leicher zu verstehen
$$ \vec{n} \cdot \vec{x} = \vec{n} \cdot \vec{p}  \Rightarrow \vec{n} \cdot \left[ \vec{x} - \vec{p} \right] =0 $$
durch die Differenz \( \vec{x} - \vec{p} \), erzeugen wir einen Vektor der von der Spitze von \( \vec{p} \) auf die Spitze von \( \vec{x} \) zeigt. Wenn \( \vec{x} \) nun auf der Geraden liegen (\(\vec{p}\) wird ja so gewählt, dass er auf der Geraden liegt), dann erzeugen wir durch die Differenz einen Vektor, der durch die Gerade verläuft. Da der Normalenvektor senkrecht zur Geraden verläuft, ist das Skalarprodukt somit Null.
Zeigt \( \vec{x} \) nicht auf die Gerade, dann erzeugt die Differenz auch keinen Vektor der in der Geraden liegt und somit ergibt das Skalarprodukt dann auch nicht Null. Also erfüllen wieder nur Punkte auf der Geraden die Gleichung.

In der Koordinatenform oder Funktionsgleichung einer linearen Funktion, müssen wir einfach nur die Koordinaten einsetzen und wir sehen sofort, ob die Gleichung erfüllt wird oder nicht. 

Du siehst also, es sind verschiedene Herangehensweisen, eine Gerade zu charakterisieren.

Ich hoffe das hilft dir weiter.

Grüße Christian

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