Wie mache ich eine Induktion

Erste Frage Aufrufe: 120     Aktiv: 26.11.2022 um 22:07

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Hey, ich habe den Induktionsanfang, wobei die Lösung 10 wäre. Induktionsbehauptung ist auch kein Problem aber Induktionsschluss macht mir kopfschmerzen, denn wenn ich für n = n+1 einsetze, kommt dort keine sinvolle antwort raus, ob die gleichung nun richtig ist oder nicht. Wie habe ich bei der Aufgabe den Induktionsschluss zu machen?
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Moin,
du willst nun zeigen: \(a_{n+1}=n2^{n+2}+2\). Du hast eine rekursive Definition für \(a_{n+1}=a_n+n2^n\). Außerdem weißt du (Induktionsannahme), dass \(a_n=(n-1)2^{n+1}+2\) gilt. Jetzt nur noch einsetzen und umformen.
LG
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Ist die rekursive Definition nicht $a_{n+1}=a_{n-1} + n2^n$ ? Weil wenn es $a_{n+1}=a_{n} + n2^n$ wäre, dann weiß ich wie ich einzusetzen habe.   ─   userd01db9 26.11.2022 um 18:37

Sind beide falsch. Setz halt richtig $n+1$ ein.
  ─   cauchy 26.11.2022 um 18:40

Ich habe in die Frage geschrieben, dass ich bereits $n= n+1$ eingesetzt habe, wobei nichts sinnvolles herausgekommen ist.
Denn:

$((n+1)-1)2^{(n+1)+1}+2$
$n2^{n+2}+2$

und was geschieht nun? Wie erkenne ich denn dort, ob die Aussage richtig ist. Also muss das doch stimmen, was fix geschrieben hat mit der rekursiven Definition, oder?
  ─   userd01db9 26.11.2022 um 19:10

Das ist das, was rauskommen soll. Du musst aber die Rekursionsformel für $a_{n+1}$ und dann die Induktionsvoraussetzung nutzen. Ist hier aber noch nirgends passiert.   ─   cauchy 26.11.2022 um 19:31

Rekursionsformel: $a_{n+1} = n2^{n+2}+2$
Induktionsvoraussetzung: $a_n=(n-1)2^{n+1} +2$
Nun $a_{n+1} = a_n $ zeigen:
$n2^{n+2}+2=(n-1)2^{n+1} +2$
$n2^{n+2} = n2^{n+1} -2^{n+1}$
$n2^1 = -n2^{n+1}$

Ist dies so richtig? Ich wäre sehr dankbar, wenn ihr mir weiter helft, denn ich möchte es komplett verstehen.
  ─   userd01db9 26.11.2022 um 20:33

Rekursionsformel falsch. Und nein, du willst NICHT $a_{n+1}=a_n$ zeigen.   ─   cauchy 26.11.2022 um 20:35

Was will ich dann zeigen, wenn nicht $a_{n+1} = a_n$ zeigen soll? :D   ─   userd01db9 26.11.2022 um 22:04

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Schreib die Ind.Vor. und die Ind.Beh. sauber hin. Viel Verwirrung kommt daher, dass der Schritt übersprungen wird, weil vermeintlich unnötige Formalität.   ─   mikn 26.11.2022 um 22:07

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