Darstellende Matrix angeben mit Basis

Aufrufe: 180     Aktiv: 27.02.2022 um 19:49

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Ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich die Darstellende Matrix f2 bezüglich der Basis B angeben soll ?
ich bin leider überfordert und komme selbst nach längerem überlegen nicht auf eine Idee, wie ich dies rechnen und angeben soll.

EDIT vom 26.02.2022 um 11:57:

Mein Beispiel bezieht sich nur auf f2 bezüglich der Basis B

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Du kannst jeden Spaltenvektor der Matrix bezüglich \(B\) darstellen und dann dann die Koordinaten (die eindeutigen Koeffizienten der linear Kombination) in die Matrix eintragen. Vielleicht siehst du ja auch, wie man dies geschickt für alle Spaltenvektoren aufeinmal macht.
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Ja, wie man einen Vektor mit der Basis B aufstellt, das kann ich und verstehe ich auch. Wenn ich dies jetzt 3 mal hintereinander machen würde, für die jeweils 3 Spaltenvektoren der Matrix, dann kann ich doch nur angeben, wie dieser eine Spaltenvektor durch die Basis angegeben wird. Die Koeffizienten der linearen Kombination müssten doch bei allen 3 spaltenvektoren verschieden sein und selbst wenn sie es nicht wären, dann hätte ich ja trotzdem nur die einzelnen spaltenvektoren angegeben. Wie bekomme ich denn aus 3 Vektoren eine Matrix heraus ? Also ist es und wie ist es möglich eine Matrix in ihre Vektoren (Spalte oder Zeile) getrennt anzugeben und umgekehrt mehrere Vektoren als eine Matrix anzugeben ?   ─   mbstudi 25.02.2022 um 17:21

Du hast drei Vektoren mit jeweils drei Koeffizienten, so kommst du auf die 3x3 Matrix, jetzt stehen da ja auch nur die Koeffizienten bezüglich der Standardbasis, man sagt auch Koordinaten   ─   mathejean 25.02.2022 um 17:46

Ich komme leider nicht hinterher und verstehe die Antwort nicht. Wenn ich einen Vektor mit der Standardbasis angeben soll, dann multipliziere ich jeden Vektor der Standardbasis mit einer variable und setze dies gleich mit einem anderen Vektor. Nun habe ich ein LGS mit 3 Zeilen und 3 variablen und löse dies auf. Dann bekomme ich die variablen raus und diese zeigen mir wie oft ich welchen Vektor der Standardbasis multiplizieren muss um den anderen Vektor zu bekommen. Bei einer Matrix geht das ja nicht, da ich nicht 3 Vektoren mit jeweils 1 variable gleich mit einer Matrix setzen kann. Deswegen weiß ich nicht wie ich es ausrechnen kann
  ─   mbstudi 25.02.2022 um 19:35

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Okay, du musst hier mit den Spaltenvektoren der Matrix arbeiten. Zuerst mit \(v_1=(1,0,3)^t\). Jetzt suchst du \(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 \in K\) mit \(v_1=\sum_{k=1}^3 \lambda_k b_k\). Von der neuen Matrix ist jetzt \((\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)^t\) der erste Spaltenvektor, usw   ─   mathejean 25.02.2022 um 20:05

Danke jetzt versteh ich es. Habe es gerade ausgerechnet, doch habe leider eine ganz andere Matrix raus, als es in der Lösung angegeben ist? (In der Lösung steht leider kein Rechenweg). Ich habe alles nachgeprüft, doch finde nirgendwo einen Fehler in den Rechnungen. Ich wollte dich fragen, wie wäre es denn möglich , dass ich diese Methode für alle Spaltenvektoren gleichzeitig mache (wie du oben am Anfang erwähnt hattest)?   ─   mbstudi 25.02.2022 um 20:41

Was ist genau die Aufgabe? Sollst du die Basis im Start und Zielvektorraum ändern? Wenn ja musst du die Matrix mit den jeweiligen Basisvektoren multiplizieren und das Ergebniss dann bezüglich der Basis darstellen.   ─   mathejean 25.02.2022 um 21:23

„Geben sie die darstellende Matrix von f2 bezüglich der Basis B an“ (habe es oben nochmal reingestellt)   ─   mbstudi 26.02.2022 um 11:59

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Wahrscheinlich sollst du im Startvektorraum und Zielvektorraum die Basis wechseln. D.h.du musst jeden der neuen Basisvektoren in die Abbildung einsetzen und dann die Koordinaten dieser Bilder herausfinden. Suche also \(\lambda_1,\ldots,\lambda_3 \) mit \(\sum_{k=1}^3\lambda_k b_k =A\cdot b_1\), die erste Spalte der neuen Matrix ist dann \((\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)^t\), usw. Stimmt das mit der Lösung überein?   ─   mathejean 26.02.2022 um 12:04

Ja hab es gerade durchgerechnet , es ist richtig! Vielen Dank ! Ich habe noch eine Frage: das Ganze auszurechnen hat etwas lange gedauert. Gibt es wie du oben erwähnt hattest, noch eine andere Möglichkeit dies auszurechnen ?. Ich meine damit eine Möglichkeit bei der man alle Vektoren gleichzeitig ausrechnet ( also die
Koordinaten aller Bilder gleichzeitig ausrechnet, anstatt eins nach dem anderen ?) meine 2. frage wäre noch: ist das was ich gemacht habe unter Basistransformation bekannt ? Ich habe mir ein Video zur Basistransformation angeguckt, es nach dessen Prinzip gerechnet, doch die Transformationsmatrix hatte nicht übereingestimmt mit den Ergebnissen der Lösungen.
  ─   mbstudi 26.02.2022 um 18:29

Ja, es handelt sich hierbei um Basistransformation. Das ganze geht schneller wenn man mit Transformationsmatrizen (schau ruhig mal auf Youtube). Was habt ihr hierzu in der Lehrveranstaltung gemacht? Kennst du Koordinatenisomorphismen und die Formel für den Basiswechsel für lineare Abbildungen? Du kannst gerne hochladen, was du versucht hast, du musst nur aufpassen, dass du hier sowohl im Startvektorraum als auch Zielvektorraum die Basis wechseln musst, dass ist leider nicht sauber formuliert (ich bin auch reingefallen), aber für Endomorphismen wahrscheinlich schleichend vorausgesetzt   ─   mathejean 26.02.2022 um 20:08

Ich hab mir auf YouTube ein Video angesehen, indem die beiden Vektoren mit dem Gauß Jordan verfahren gelöst wurden, indem die Matrizen nebeneinander geschrieben wurden, so als ob man die inverse berechnen wollen würde. Dann macht man aus der einen Matrix die Einheitsmatrix, und aus der anderen Matrix kommt dann die Transformationsmatrix. Hab es ausprobiert, doch bekomme das falsche Ergebnis raus(eventuell muss ich die Matrix A f2 vorher ändern, indem ich diese erstmal mit den basisvektoren jeweils 1 mal multipliziere und dann die daraus entstandenen 3 Vektoren als Matrix mit den 3 basis Vektoren als Matrix mit dem Gauß Jordan verfahren ausrechnen. Isomorphismen sagt mir leider nichts. Das muss ich nochmal reinlesen. Um ehrlich zu sein lerne ich nur die Methoden, da ich nicht genau verstehe ,wie die ganzen Sachen immer zusammenhängen. Das stumpfe auswendig lernen der Methoden wie man rechnet, hat mir bis jetzt immer mehr gebracht als das ganze theoretische.   ─   mbstudi 27.02.2022 um 00:32

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Okay, du hast jetzt die Transformationsmatrix \(T^A_B\) von einer Basis \(A\) zu einer anderen Basis \(B\) berechnet, das ist gut. Diese Transformationsmatrix ist gerade die Darstellungsmatrix der Identität. Die allgemeine Formel für den Basiswechsel lautet aber \(M^A_B(f)=T^C_B \cdot M^C_C(f) \cdot T^A_C\), lese am besten von rechts nach links. In deinem Fall ist \(A=B\) und\(C\) die Standardbasis, wegen \(T^C_B=(T^B_C)^{-1}\) und umgekehrt brauchst du also nur eine Transformationsmatrix berechnen und diese danach nur noch invertieren (das gilt aber nur hier). Es ist dann hier \(M^B_B(f)=(T^B_C)^{-1}\cdot A \cdot T^B_C=T^C_B \cdot A \cdot (T^C_B)^{-1}\). Übriges ist lineare Algebra, wenn man die Theorie versteht (falls diese überhaupt in deinem Studium richtig erklärt wird), viel leichter und man muss gar nicht irgendwas lernen. Habt ihr vielleicht ein Tutorium? Zu diesem Thema kann man schöne kommutative Diagramme zeichnen, dass kannst du ja mal Fragen ob er das für dich macht.   ─   mathejean 27.02.2022 um 09:14

Vielen Dank für die Tipps und Infos, ich bin dir sehr dankbar für deine Hilfe. Das theoretische wird zwar angerissen, doch nicht wirklich gut erklärt. Deshalb habe ich meistens auch Probleme mit der Fragestellung und der Idee, die hinter der Rechnung steckt. Ich kenne zwar das theoretische teilweise in Stücken, doch nicht die Zusammenhänge zwischen den einzelnen Stücken. Das ist das Problem, warum mir manche Aufgaben so schwer fallen. Ich finde es deshalb einfacher das Rechnen zu lernen, da es im Prinzip immer das gleiche ist. (Sobald eine Fragestellung sich ändert, wird mir dies jedoch dann zum Verhängnis. In den ganzen Vorlesungen und Skripten wird das theoretische auch sehr schlecht erklärt, und ich finde oft im Internet auch nicht besonders viel dazu. Kennst du vielleicht ein Buch, bei dem Mathematik (am besten für Ingenieur) gut erklärt wird, welches du mir empfehlen könntest ?   ─   mbstudi 27.02.2022 um 18:05

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Für lineare Algebra finde ich das Buch von Bosch am besten, das von Fischer ist aber auch sehr gut. Das sind aber beides Bücher für Mathematiker. Ich glaube du wirst auch nur mit Rechnen durch die Klausur kommen, ich war schon 2 mal Tutor für Lineare Algebra für Informatiker und man kam hier durch jede Klausur, wenn man den Gauß-Algorithmus konnte (und wusste wann und wie man ihn einsetzt). Ich möchte dich aber trotzdem ermutigen dich auch mit der Theorie zu befassen, da sie sehr schlank und elementar ist. Eine sehr gute lineare Algebra 1 Zusammenfassung (mit elementaren Sätzen und Beweisen) findest du auf mathepedia (ersetzt aber kein Lehrbuch, ist aber gut zum lernen)   ─   mathejean 27.02.2022 um 18:11

Ich habe nach den Bücher von Bosch geschaut, es sind gibt aber verschiedene Auflagen davon. Welches wäre denn für mich geeignet ? Am besten wäre ein Buch, welches einfache Erklärung hätte, bei denen man nicht immer alles nachschlagen muss, denn im Endeffekt bräuchte man das Buch dann nicht mehr, wenn man sich alles im Internet nochmals angucken muss hahaha   ─   mbstudi 27.02.2022 um 18:43

Die Auflage von Bosch ist eigentlich egal, nimm die, die es bei deiner Uni online gibt. Im Bosch werden alle Themen sehr ausführlich diskutiert, besonders schön ist hier die Normalformentheorie mittels Elementarteilern, im Fischer wird nur die jordansche Normalform besprochen   ─   mathejean 27.02.2022 um 19:49

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