Mit "... die Einträge ... rauskommen" kannst Du keinen Beweis führen.
Schreib Dir erstmal formal sauber die Def. von $E_{ij}$ auf, also:
$E_{ij}(k,l):=\begin{cases}... &...\\ ... & ...\end{cases}$.
Dann sei $B:=E_{ij}A$, dann gilt $b_{km}=\sum\limits_{l=1}^n  E_{ij}(k,l)a_{lm}$ und werte das mit der Def. aus, wobei Du peinlichst genau auf die Indices achtest.
Alternativ kannst Du das auch mit großen Matrizen schreiben, mit vielen $\ldots$ und genauer Bezeichnung von Spalten und Zeilen und $i$ und $j$ - finde ich aber aufwendiger und unübersichtlicher.