Äquivalenzrelation

Aufrufe: 53     Aktiv: 20.03.2021 um 13:51

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Hallo, kann mir einer bei der letzten Aufgabe helfen? Also bei "Ergänzen Sie die Relation um eine minimale Anzahl von Tupel damit diese eine Äquivalenzrelation wird".
Wieso muss ich die Tupel {0,0}, {1,1}, {3,3} und {4,4} ergänzen, wieso reicht es nicht einfach {2,2} zu ergänzen?
Und kann mir jemand bei tranisitiv helfen? Was muss ich ergänzen, damit diese Relation transitiv ist?
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Zunächst zur Reflexivität: Eine Relation ist nach Definition genau dann reflexiv, wenn für alle \(x \in M \) gilt: \(xRx \). Bei dir ist \(M=\{0,1,2,3,4\} \). Weil nach der Definition der Reflexivität alle Elemente aus M zu sich in Relation stehen sollen, muss gelten \((0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4) \in R\). Es würde also nicht reichen R um das Tupel \((2,2)\), weil dann beispielsweise die 3 nicht zu sich selbst in Relation stehen würde. 

Jetzt zur Transitivität: Deine ergänzte, reflexive Menge \(R\) sähe jetzt schonmal so aus \(R=\{(0,4),(1,3),(3,1),(4,0),(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\} \)
Jetzt muss man die Definition der Transitivität kennen. Eine Relation ist genau dann transitiv, wenn für alle \(x, y, z\in M \) gilt: \(xRy, \space yRz \Rightarrow xRz\). 
Das ist bei unserer ergänzten Menge R aber schon erfüllt. Zum Beispiel gilt: \((1,3), (3,1) \in R\) Damit R transitiv sein kann, muss auch gelten \((1,1) \in R\). Das ist aber erfüllt. Auf diese Weise kannst du dir überlegen, dass R wirklich schon in dieser Form transitiv ist.
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DANKESCHÖN!!!!   ─   anonym 20.03.2021 um 13:51

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