Es scheint so als würdest du dich noch nicht so sicher fühlen im Umgang mit Symmetrien.
Gemeinhin würde man Symmetrien in Drehungen und Spiegelungen unterteilen.
(Dabei entsprechen diese jeweils linearen Abbildungen mit Det 1 oder -1)
In 3D lassen sich Drehungen mithilfe von Drehachsen und Spiegelungen mithilfe von Spiegelungsebenen darstellen.


Hier findest du eine ziemlich gute Erklärung der Symmetrien eines Tetraeders. 

Folgendermaßen kann man vielleicht auch schon schneller sehen, dass es 24 Symmetrien geben muss:
- Es gibt nur 4 Ecken und jede Symmetrie permutiert die Ecken \(\rightarrow\) wir können die Symmetrien mit Permutationen der Zahlen 1,2,3,4 identifizieren (per Gruppensomorphismus) und es gibt nur max 24 Symmetrien
- Wenn man die Ecken mit 1, 2, 3 und 4 nummeriert, kann man jeweils Symmetrieabbildungen finden, die die Ecke 1 mit einer beliebiegen anderen Ecke vertauschen, ohne die übrigen beiden Ecken anzurühren
- Das Tetraeder sieht von jeder Ecke aus gleich aus

Das impliziert dann schon, dass jede Permutation der Ecken als Symmetrieabbildung auftauchen muss und damit ist also \(|Sym(T)|=24 = 4!\)

Ich hoffe das hilft dir weiter