es ist wichtig zu verstehen, das wir immer die additive Gruppe (Z,0) betrachten.
Also zu 1.: Die Definition stimmt so. Jetzt suchen wir alle Untergruppen von Z, die 1 enthalten. Da 1 selbst schon Z erzeugt, gibt es nur eine solche Untergruppe - nämlich Z. Also ist auch der Schnitt gleich Z und die Definition passt.
Zu 2.: Hier ist ein Problem in der Notation. In Gruppen bezeichnet man die Operation häufig mit "⋅" und mehrfaches anwenden der Operation mit an. Da, wie oben bemerkt, die Operation bei uns die Addition ist, heißt an nichts anderes als a⋅n=a+a+...+a. Das heißt diese "alternative" Defintion sagt einfach nur <a>={n⋅a|n∈Z}Dann ist auch sofort klar warum wieder <1>=Zgilt.
LG

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