Algebra zyklische Gruppen

Aufrufe: 126     Aktiv: 15.02.2024 um 14:52

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Hallo :)
ich schreibe in einer Woche Algebra Klausur an der Uni und hab eine Frage zu zyklischen Gruppen, genauer zu den ganzen Zahlen (Z, +) als zyklische Gruppe.

Warum die ganzen Zahlen zyklisch sind, ist mir klar: Umgangssprachlich gesagt kann man eben mit der 1 alle ganzen Zahlen darstellen, d.h. Z = <1> (lineare Hülle).
Aber wir haben zwei weitere Defintionen, die mit zyklischen Gruppen zu tun haben, in unserem Skript und ich verstehe nicht wie das zu den ganzen Zahlen passt:

1. Die lineare Hülle von einer Teilmenge (oder im zyklischen Fall von einem Element) von einer Gruppe ist definiert als der Durchschnitt aller Untergruppen, in denen die Teilmenge (das Element) drinliegen (drinliegt). Im Fall der ganzen Zahlen müsste also gelten: Z = <1> = Durchschnitt aller Untergruppen von Z, in denen 1 liegt.
Problem: Die Untergruppen von Z sind genau die mZ mit m aus Z und die 1 liegt ja nicht in jeder dieser Gruppen (1 nicht Element 2Z) und somit ist die lineare Hülle der 1 ja nicht ganz Z oder? Wo ist mein Denkfehler, weil es kann ja nicht so sein, denn es muss ja ganz Z ergeben.

2. Für zyklische Gruppen gilt: G = <a> = {a^n I n Element Z} oder im Fall von Z = <1> = {1^n I n Element Z}.
Problem: Ich verstehe das nicht, weil egal wie oft ich die 1 potenziere, ich komm ja immer nur auf 1 oder -1 und nicht auf ganz Z. Wo ist hier mein Denkfehler? Ich denke, dass es irgendwas mit dem Fakt zu tun haben muss, dass Z eine additive Gruppe ist, aber in meinem Skript gibt es dazu keinerlei Hinweise oder irgendwas. Ich denke irgendwie, dass die Definition für additive zyklische Gruppen irgendwie so lauten müsste: G = <a> = {n*a I n Element Z}, denn dann würde es Sinn machen, aber warum gibt es dann in meinem Skript keinen Hinweis dazu?

Ich freue mich, wenn mir jemand helfen könnte.
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Moin,

es ist wichtig zu verstehen, das wir immer die additive Gruppe $(\mathbb{Z}, 0)$ betrachten. 

Also zu 1.: Die Definition stimmt so. Jetzt suchen wir alle Untergruppen von $\mathbb{Z}$, die 1 enthalten. Da 1 selbst schon $\mathbb{Z}$ erzeugt, gibt es nur eine solche Untergruppe - nämlich $\mathbb{Z}$. Also ist auch der Schnitt gleich $\mathbb{Z}$ und die Definition passt.

Zu 2.: Hier ist ein Problem in der Notation. In Gruppen bezeichnet man die Operation häufig mit $"\cdot"$ und mehrfaches anwenden der Operation mit $a^n$. Da, wie oben bemerkt, die Operation bei uns die Addition ist, heißt $a^n$ nichts anderes als $a\cdot n =a + a +...+ a$. Das heißt diese "alternative" Defintion sagt einfach nur $$<a>=\{n\cdot a| n \in \mathbb{Z}\}$$Dann ist auch sofort klar warum wieder $$<1>=\mathbb{Z}$$gilt.

LG
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