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Die Vektoraddition ist Addition in \(K\) und also abelian gruppe. Wir müssen uns nur noch überlegen, wie Skalarmultiplikation aussieht. Betrachte \(\varphi: \mathbb{Z} \to K\). Es ist \(\operatorname{im}\varphi \subseteq P\), wobei \(P\) Durchschnitt aller Teilkörper von \(K\). Inklusion gilt weil \(\mathbb{Z}\) initial in Kategorie der Ringe ist und es nur einen einzigen Morphismus \(\mathbb{Z} \to P\) geben kann! Da \(p\) aber eine Primzahl ist, ist \(\mathbb{Z}/(p)\) ein Körper und es folgt mit Homorphiesatz \(\operatorname{im} \varphi \cong \mathbb{F}_p\). Nach Definition von \(P\) ist also \(P \cong \mathbb{F}_p\). Wir können oBdA annehmen \(P=\mathbb{F_p}\), also \(\mathbb{F}_p \subseteq K\), jetzt wir können mit Multiplikation in \(K\) die Skalarmultiplikation definieren. Du musst jetzt noch die VR Axiome prüfen, es ist aber trivial
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mathejean
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Danke, aber muss ich nur die Skalarmultiplikation definieren und die Aufgabe ist gelöst?
Und auf die Addition gehe ich nicht ein, weil ich sage die ist eine in K und deshalb muss ich keine Beachtung der schenken? WEnn ja, aber ich kann ja die Vektoren linear so kombinieren, dass ich die erst multipliziere von Elementen von Z/(p) und dann addiere? ─ mfieok0 10.10.2022 um 19:50
Und auf die Addition gehe ich nicht ein, weil ich sage die ist eine in K und deshalb muss ich keine Beachtung der schenken? WEnn ja, aber ich kann ja die Vektoren linear so kombinieren, dass ich die erst multipliziere von Elementen von Z/(p) und dann addiere? ─ mfieok0 10.10.2022 um 19:50
Ja die VR Additionsaxiome sind war, weil K ein Körper ist. Ab wenn verstehe ich nicht
─
mathejean
10.10.2022 um 19:53