Wieso sind die ganzen Zahlen von Wurzel 2 ein Ring?

Aufrufe: 96     Aktiv: vor 6 Tagen, 23 Stunden

0
Benötige Hilfe?
Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 72

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
0
Du meinst \(\mathbb{Z}[\sqrt{2}]\) (gesprochen Z adjungiert Wurzel 2)? Man muss einfach nur Ringaxiome nachrechnen. Weißt du wie Menge aussieht und was Addition und Multiplikation ist?
Diese Antwort melden
geantwortet

Student, Punkte: 8.72K

 

Ja genau und wie mache ich das? Habe leider keinen Ansatz…   ─   anonym3630b 20.06.2022 um 18:20

Die Verknüpfung ist \((a+b\sqrt{2})+(a'+b'\sqrt{2}):=(a+a')+(b+b')\sqrt{2}\). Damit kannst du jetzt Gruppenaxiome nachrechnen. Kannst du dir vorstellen wie Multiplikation definiert ist?   ─   mathejean 20.06.2022 um 18:23

Also die Menge ist {a+b√2 | a,b ∈ Z} ⊂ R.
  ─   anonym3630b 20.06.2022 um 18:25

Multiplikation dann so?
(a+b √2) * ( a‘+b‘ √2) := (a*a‘) + (b√2*b‘√2) ?


  ─   anonym3630b 20.06.2022 um 18:29

Wie rechne ich jetzt die Gruppenaxiome nach? Und warum die Gruppenaxiome und nicht die Ringaxiome?   ─   anonym3630b 20.06.2022 um 18:30

Überlege dir, wie du in komplexe Zahlen multiplizieren würdest und versuche so die Definition der Multiplikation zu definieren. Ringaxiome für Addition sind Gruppenaxiome!   ─   mathejean 20.06.2022 um 19:24

Also so?
(a+b √2) * ( a‘+b‘ √2) := (a*a‘) + (a*b‘√2) +(b√2*a’) +(b√2*b‘√2) ?
  ─   anonym3630b 20.06.2022 um 19:44

Ja, sehr gut! Offensichtlicher: \((a+b\sqrt{2})(a'+b'\sqrt{2})=(aa'+2bb')+(ab'+a'b)\sqrt{2}\)   ─   mathejean 20.06.2022 um 20:22

Ok und wie zeige ich jetzt das Assoziativgesetz? mit a,a‘ und b√2?
  ─   anonym3630b 20.06.2022 um 20:25

Benötige bitte Hilfe   ─   anonym3630b 20.06.2022 um 22:01

Es geht eigentlich so ähnlich wie beim Produkt, es ist nur sehr viel Arbeit. Wenn du aber wissen über Homomorphismen von Ringen hast, kann man sich hier die arbeit etwas sparen. Oder wenn du weißt, was Quotienten sind, dann geht es noch schneller   ─   mathejean 21.06.2022 um 09:17

Ich weiß, was Quotienten sind aber wie hilft mir das…mir fehlt der Ansatz   ─   anonym3630b vor 6 Tagen, 23 Stunden

Okay, sehr gut! Es ist \(\mathbb{Z}[\sqrt{2}]=\mathbb{Z}[X]/(X^2-2) \)   ─   mathejean vor 6 Tagen, 23 Stunden

Ich verstehe leider nicht was du da jetzt genau gemacht hast?
Ich hätte gesagt man kann die Wurzel 2 in 2^1/2 umschreiben
  ─   anonym3630b vor 6 Tagen, 23 Stunden

Kommentar schreiben