Vollständige Induktion: n^2<2^n

Erste Frage Aufrufe: 74     Aktiv: 05.10.2021 um 16:25

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Hallo!
Ich soll für meine Mathe HÜ mittels vollständiger Induktion beweisen, dass "für hinreichend große natürliche Zahlen stets n^2 < 2^n gilt".
Ich steh leider total auf der Leitung. Muss ich das so angehen wie bei n<2^n und wie genau kann ich "hinreichend groß" definieren bzw. beschreiben?
Vielen lieben Dank

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Was hast du denn schon versucht?   ─   cauchy 03.10.2021 um 14:50

Probier mal per Hand, ab wann \(n^2 < 2^n\) gilt und nimm das dann als Induktionsanfang.   ─   posix 03.10.2021 um 14:56

Schau mal hier https://www.mathefragen.de/frage/q/f166a1f7f4/wie-wird-diese-ungleichung-so-umgeformt-vollstandige-induktion/   ─   mikn 03.10.2021 um 14:59
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Hey,

wie du sicher weißt, wächst eine Exponentialfunktion deutlich schneller als eine Potenzfunktion. Für gewisse \( n \in \mathbb{N} \) ist diese Ungleichung deshalb noch nicht gültig. Du kannst also zunächst versuchen herauszufinden für welche \( n \) die Gleichung erstmalig erfüllt ist (ist nicht sonderlich groß, solltest du also durch probieren gut hinbekommen). Das kannst du dann als Induktionsanfang nutzen, die Induktionsvoraussetzung aufstellen und der Induktionsschritt sollte dann auch nicht sonderlich schwierig zu zeigen sein.

VG
Stefan
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zum Induktionsschluss: \((n+1)^2=n^2+2n+1<2^n+2n+1\) wegen der Indiktionsvoraussetzung
jetzt musst du nur noch per v.I. zeigen, dass \(2n+1<2^n\) ist, denn \(2^n+2^n=2^{n+1}\)
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