Auge für Differenzierbarkeit und Stetigkeit

Aufrufe: 60     Aktiv: 03.07.2021 um 19:28

1
Hallo zusammen,
ich möchte die Fähigkeit "erlernen", einer Funktion nur von ihrer Definition ansehen zu können, ob sie diff.bar und/ oder stetig ist. Mir ist klar, dass das nicht immer geht und keine exakte Kunst ist, aber ich weiß, dass es ungefähr geht und das Verständnis für die Mathematik verbessert.

Was ich weiß: Stetigkeit bedeutet grob der Allerweltsmerksatz "ohne den Stift abzusetzen" malbar, genauer für jede Folge, die gegen \( x_0 \) konvergiert, müssen die Funktionswerte der Folge gegen den Funktionswert von \( x_0 \) konvergieren oder eben die epsilon-delta-Definition, also kleine Wackler in der Eingabe führen nur zu kleinen Wacklern bei der Ausgabe.
Differenzierbarkeit bin ich mir, was die (geometrische) Definition angeht, schon etwas unsicherer: es bedeutet doch, dass ich eine eindeutige Tangente anlegen kann. Super als Gegenbeispiel ist die Betragsfunktion, die in 0 zwar stetig, aber nicht differenzierbar bin, weil ich ja viele Tangenten anlegen könnte.

Was ich lernen will: nehmen wir die Funktion \( f(x):=e^{\frac{-1}{x^2}} \). Mein Prof hat dazu gesagt: egal, ob man x von links oder rechts gegen 0 gehen lässt; das Quadrat macht es positiv, damit geht der Exponent gegen minus unendlich und damit der Funktionswert gegen 0, also es ist dort stetig.
Zu Differenzierbarkeit hat er einfach nur gesagt, es sei offensichtlich, dass sie für \( x\neq 0 \) beliebig oft differenzierbar ist. Wie überlegt man sich das? Also welche Gedanken macht ihr euch, wenn ihr eine euch bis dato unbekannte Funktion seht und intuitiv wissen wollt, ob diff.bar und/oder stetig?





Diese Frage melden
gefragt

Student, Punkte: 254

 

1
Vielleicht solltest du erstmal ein Gefühl für relevante Funktionsstellen bekommen, an dennen es scheitern könnte.   ─   mathejean 03.07.2021 um 17:58

Moment mal - der Prof hat gesagt, dass die Funktion $f(x)=e^{\frac{-1}{x^2}}$ an der Stelle $x_0=0$ stetig ist? Dort ist sie doch gar nicht definiert, kann dort deshalb auch nicht stetig sein (im $\epsilon$-$\delta$-Kriterium kommt $f(x_0)$ vor - wenn ich das nicht einsetzen kann, ... (oder ist die Definition für Stetigkeit heutzutage anders?))

Wenn wir über die Funktion
$$
f(x)=\begin{cases}
e^{\frac{-1}{x^2}}&\text{für } x\neq 0,\\
0&\text{für } x=0
\end{cases}
$$
sprechen, dann wäre diese an der Stelle $x=0$ nicht nur stetig, sondern auch differenzierbar...
  ─   joergwausw 03.07.2021 um 18:41
Kommentar schreiben
1 Antwort
2
Dass dein $f$ für $x\neq 0$ unendlich oft differenzierbar ist, sieht man nicht am Graphen, sondern mit Ableitungsregeln. Es ist klar, dass jede Ableitung nach Produkt-, Quotienten- und Kettenregel $e^{-1/x^2}$ mal eine gebrochen rationale Funktion mit Nenner $x^k$ ist. Ob eine Funktion differentierbar ist, sieht man am Graphen daran, ob sie "glatt" ist, also dass sie keinen "Knick" (wie bei $|x|$) macht.
Diese Antwort melden
geantwortet

Punkte: 11.1K

 

Kommentar schreiben