Hallo zusammen,
ich möchte die Fähigkeit "erlernen", einer Funktion nur von ihrer Definition ansehen zu können, ob sie diff.bar und/ oder stetig ist. Mir ist klar, dass das nicht immer geht und keine exakte Kunst ist, aber ich weiß, dass es ungefähr geht und das Verständnis für die Mathematik verbessert.

Was ich weiß: Stetigkeit bedeutet grob der Allerweltsmerksatz "ohne den Stift abzusetzen" malbar, genauer für jede Folge, die gegen \( x_0 \) konvergiert, müssen die Funktionswerte der Folge gegen den Funktionswert von \( x_0 \) konvergieren oder eben die epsilon-delta-Definition, also kleine Wackler in der Eingabe führen nur zu kleinen Wacklern bei der Ausgabe.
Differenzierbarkeit bin ich mir, was die (geometrische) Definition angeht, schon etwas unsicherer: es bedeutet doch, dass ich eine eindeutige Tangente anlegen kann. Super als Gegenbeispiel ist die Betragsfunktion, die in 0 zwar stetig, aber nicht differenzierbar bin, weil ich ja viele Tangenten anlegen könnte.

Was ich lernen will: nehmen wir die Funktion \( f(x):=e^{\frac{-1}{x^2}} \). Mein Prof hat dazu gesagt: egal, ob man x von links oder rechts gegen 0 gehen lässt; das Quadrat macht es positiv, damit geht der Exponent gegen minus unendlich und damit der Funktionswert gegen 0, also es ist dort stetig.
Zu Differenzierbarkeit hat er einfach nur gesagt, es sei offensichtlich, dass sie für \( x\neq 0 \) beliebig oft differenzierbar ist. Wie überlegt man sich das? Also welche Gedanken macht ihr euch, wenn ihr eine euch bis dato unbekannte Funktion seht und intuitiv wissen wollt, ob diff.bar und/oder stetig?