Cauchy schwarz Ungleichung

Aufrufe: 69     Aktiv: 11.01.2023 um 13:19

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Hallo,
ich bin gerade dabei für eine Klausur zu lernen und versuche einige der Beweise aus der VL nachzuvollziehen. 

Bei diesem Beweis hätte ich eine Frage: wie komme ich zu dem Schritt nachdem mein λ und mein μ gewählt wurden ?

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Student, Punkte: 18

 
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Es ist $\langle x,x\rangle=\Vert x\Vert^2\geq 0$.
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Ja deshalb ist mein skalar ja größer null, das verstehe ich
Aber wie komme ich auf das skalar von λv+μw mit λv+μw?

Ich möchte ja zeigen, dass 0< ||v||^2 * ||w||^2 - < v,w> ^ 2 ist.

Wenn ich diesen Schritt umforme hab ich ja:
< v,v> * < w,w> - < v,w>*< v,w>
= λ*< v,v> +μ*< v,w>
=< λv,v>+< v,μw>
=<λv+μw,v>

Vielleicht habe ich aber auch eine falsche Herangehensweise?
  ─   katharinawagner 11.01.2023 um 13:11

Um das zu sehen, musst du doch einfach nur von oben bis unten durchrechnen, wie es im Beweis steht. Am Ende kommt doch genau $\langle v,v\rangle\langle w,w\rangle - \langle v,w\rangle\langle v,w\rangle=\Vert v\Vert^2\Vert w\Vert^2-\langle v,w\rangle^2$ raus. Und da am Anfang $0\leq \dots$, ist eben auch dieser Ausdruck größer als 0. Also quasi da, wo dein langer schwarzer Pfeil ist.   ─   cauchy 11.01.2023 um 13:19

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