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Man kann das schon anschaulich erklären. Das Polynom kann man als Funktion \(\mathbb{C}\to\mathbb{C}\) auffassen, also \(z\mapsto z^2+6z+25\) für \(z\in\mathbb{C}\). Diese Funktion hat zwei Nullstellen, also Punkte in \(\mathbb{C}\). Die ergeben total Sinn.
Was man sich nicht vorstellen kann ist der Graph dieses komplexen Polynoms, denn das ist eine zweidimensionale Fläche im (reell) vierdimensionalen Raum \(\mathbb{C}^2\).
Was man sich nicht vorstellen kann ist der Graph dieses komplexen Polynoms, denn das ist eine zweidimensionale Fläche im (reell) vierdimensionalen Raum \(\mathbb{C}^2\).
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slanack
Lehrer/Professor, Punkte: 4K
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\(z\mapsto z^2+6z+25\) ist eine Abbildungsvorschrift, d.h. der Ausdruck, der eine Funktion definiert. Man könnte die Funktion z.B. \(f\) nennen, dann wäre das gleichbedeutend mit \(f(z)=z^2+6z+25\).
Ja, diese Abbildung bildet \(\mathbb{C}\) in sich ab. Weil aber die Koeffizienten des Polynoms reell sind, bildet \(f\) auch \(\mathbb{R}\) in sich ab. Es ergibt also Sinn, \(f\) auch als Abbildung \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) aufzufassen. Als solche hat \(f\) keine Nullstellen. Aber \(f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}\) hat sehr wohl Nullstellen. Jedes komplexe Polynom kann als Produkt von komplexen Linearfaktoren geschrieben werden (hier: \(z^2+6z+25=(z+3+4i)(z+3-4i)\)), aber nicht jedes reelle Polynom kann als Produkt von rellen Linearfaktoren geschrieben werden.
Was meinst Du mit Darstellbarkeit? Das ist in der Regel ein genau definierter Begriff, aber ich glaube Du meinst einfach Visualisierung des Graphen. Nun, das ist für Funktionen \(\mathbb{C}\to\mathbb{C}\) im Allgemeinen nicht möglich, da man dann ja \(\mathbb{C}\) mit \(\mathbb{R}^2\) identifizieren würde und der Graph daher eine zweidimensionale Teilmenge des \(\mathbb{R}^4\) wäre. Das übersteigt die menschliche Vorstellungskraft. Man kann sich mit Reduktionen behelfen, z.B. die Bilder von Kurven in \(\mathbb{C}\) unter \(f\) betrachten oder Schnitte des Graphen mit \(2\)- oder \(3\)-dimensionalen Teilräumen. Dafür kann man die üblichen Plotprogramme verwenden, GNUPLOT, WolframAlpha o.ä.
Alle diese Dinge lernt man in den ersten drei Semestern des Mathestudiums. ─ slanack 26.03.2021 um 00:20
Ja, diese Abbildung bildet \(\mathbb{C}\) in sich ab. Weil aber die Koeffizienten des Polynoms reell sind, bildet \(f\) auch \(\mathbb{R}\) in sich ab. Es ergibt also Sinn, \(f\) auch als Abbildung \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) aufzufassen. Als solche hat \(f\) keine Nullstellen. Aber \(f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}\) hat sehr wohl Nullstellen. Jedes komplexe Polynom kann als Produkt von komplexen Linearfaktoren geschrieben werden (hier: \(z^2+6z+25=(z+3+4i)(z+3-4i)\)), aber nicht jedes reelle Polynom kann als Produkt von rellen Linearfaktoren geschrieben werden.
Was meinst Du mit Darstellbarkeit? Das ist in der Regel ein genau definierter Begriff, aber ich glaube Du meinst einfach Visualisierung des Graphen. Nun, das ist für Funktionen \(\mathbb{C}\to\mathbb{C}\) im Allgemeinen nicht möglich, da man dann ja \(\mathbb{C}\) mit \(\mathbb{R}^2\) identifizieren würde und der Graph daher eine zweidimensionale Teilmenge des \(\mathbb{R}^4\) wäre. Das übersteigt die menschliche Vorstellungskraft. Man kann sich mit Reduktionen behelfen, z.B. die Bilder von Kurven in \(\mathbb{C}\) unter \(f\) betrachten oder Schnitte des Graphen mit \(2\)- oder \(3\)-dimensionalen Teilräumen. Dafür kann man die üblichen Plotprogramme verwenden, GNUPLOT, WolframAlpha o.ä.
Alle diese Dinge lernt man in den ersten drei Semestern des Mathestudiums. ─ slanack 26.03.2021 um 00:20
Vielen, vielen Dank nochmal :) Ja ich studiere Informatik, nur habe ich es leider nicht geschafft meine defizitäre Grundausbildung durch intensives Lernen zu kompensieren. Folglich die Prüfung nicht geschafft (was an einer Uni grundsätzlich nicht "so" tragisch ist) und möchte daher den Gesamtkontext besser verstehen (unabhängig davon, ob das Studium dahingehend selbst derart in die Tiefe geht) - ich habe nicht mal nach einer Einsicht gefragt, weil es mir grundsätzlich völlig egal ist, ob ich 6 Semester oder 10 Semester benötigt, die Besten werden nicht jene sein, die mit 4 irgendwie durchkommen, sondern u. vor allem (denk ich zumindest) theoretische Grundlagen verstehen, folglich abstrakt Probleme lösen können. (notorische Softwareentwickler gibt's sowieso schon mehr als genug) - bis jetzt hatte ich aber das Problem, das mir die passende Literatur fehlte (zuerst muss ich sowieso die schulisch, defizitären Grundlagen nachholen (was ich schlauerweise aus Naivität vorm Studienbeginn nicht gemacht habe), aber weiterführend würde ich nach einer Literatur suchen, die mir hilft, das alles besser zu verstehen (mit viel Wissensinput), aber gleichzeitig auch nicht zu stark in die Tiefe geht (weil andere Lehrveranstaltungen trotzdem weitergehen). Wenn Sie da noch was Passendes kennen würde, wäre ich Ihnen sehr dankbar (wenn nicht ist's auch egal, möchte Sie ja nicht ewig nerven :D) und danke nochmal :)
─
sven03
26.03.2021 um 12:04
Es gibt sehr viele Mathematik-Lehrbücher für die Uni, und es hängt stark von den eigenen Bedürfnissen und vom Geschmack ab, welche davon einem zusagen. Am Einfachsten ist es, sie in der Mathebib in die Hand zu nehmen und durchzublättern. Man merkt dann schnell, woran man ist.
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slanack
26.03.2021 um 13:32
Und entschuldigen Sie bitte meine Unwissenheit, ich hab leider nicht das Talent, wie viele Matheexperten in diesem Forum, bei denen man oftmals das Gefühl hat, dass gewisse Dinge zu lernen eigentlich gar nicht notwendig ist, weil für sie vieles einfach logisch ist (aber ich brauche, um etwas zu wissen, irgendwo ein Lehrbuch oÄ - allenfalls hät ich, um mich zu vertiefen, momentan sowieso keine Zeit, weil ich Grundlagen nachlerne - nur der Interessensdrang begünstigt Vertiefungen wie diese :) ) ─ sven03 25.03.2021 um 23:46