Partielle Integration kann man ja nur nutzen wenn e^x ist sin(x) etc, aber nicht wenn z,B e^x^2 ist, wie nennt man das mathematisch korrekt?

Aufrufe: 510     Aktiv: 21.09.2020 um 21:52
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Wie nenne ich sowas, also wenn ich sagen will, dass man die partielle Integration nur bei Integralen benutzen kann, die ein Produkt aus zwei Funktionen besitzen und maximal bei z.B e nur e^x haben dürfen oder bei sin nur sin(x) und nicht sin(x^2). Wie würde ich das schrieben?

Der anfang wäre: Die partielle Integration kann man dann nutzen, wenn das Produkt vom Integral aus zwei Funktionen besteht. Und wie bring eich nun den zweiten Teil ein? Also wie schriebe ich noch das, dass es z.B nicht e^x^2 sein darf? Könnte jemand den Satz dazu schreiben, wi es auf wissenschaftlicher Ebene korrekt wäre?

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Moin danke086.

Für die e-Funktion sagt man auch, wenn nur \(x\) und nicht \(x^2\), \(x^3\), o.Ä. im Exponent vorkommt: Der Exponent ist linear.

Bei Sinus und Cosinus: Das Argument von Sinus und Cosinus ist linear.

Damit kannst du sicher etwas anfangen.

 

Grüße

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Nö. Gegenbeispiel? \( x\cdot\ln(x²) \)
Ist zwar nicht die e-Fkt, aber ich bin mir ziemlich sicher, dass man auch da Gegenbeispiele finden kann.   ─   gardylulz 21.09.2020 um 21:03
Bei Sinus, Cosinus und e-Funktion glaube ich nicht, dass es da Gegenbeispiele gibt. Beim \(\ln\) funktioniert das, da hast du recht. Um den \(\ln\) ging es ja aber auch garnicht.   ─   1+2=3 21.09.2020 um 21:13
Haben wir ein nichtlineares Argument bzw. einen nichtlinearen Exponenten, entsteht beim Ableiten nur vom Argument bzw. dem Exponenten keine Konstante. Bei partieller Integration wird unter dem entstehenden Integral (also dem Subtrahend) eine Funktion integriert eingesetzt und eine abgeleitet. In beiden Fällen gibt das mit nichtlinearem Exponent oder Argument Probleme.   ─   1+2=3 21.09.2020 um 21:22
\( \int e^{\arccos(x)} dx\) kann man rein über partielle Integration lösen ...   ─   gardylulz 21.09.2020 um 21:28
Das will ich sehen! :o   ─   1+2=3 21.09.2020 um 21:31
\(\int\exp(\arccos(x))dx=x\cdot\exp(\arccos(x))+\int\frac{x}{\sqrt{1-x²}}\exp(\arccos(x))dx \)

\(=x\cdot\exp(\arccos(x))-\sqrt{1-x²}\exp(\arccos(x))-\int\exp(\arccos(x))\sqrt{1-x^2}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx \)

\(=x\cdot\exp(\arccos(x))-\sqrt{1-x²}\exp(\arccos(x))-\int\exp(\arccos(x))dx \)

\(2\int\exp(\arccos(x))dx=x\cdot\exp(\arccos(x))-\sqrt{1-x²}\exp(\arccos(x))\)

\(\int\exp(\arccos(x))dx=\frac{x}{2}\cdot\exp(\arccos(x))-\frac{\sqrt{1-x²}}{2}\exp(\arccos(x))\)   ─   gardylulz 21.09.2020 um 21:41
Hm, das ist natürlich ein funktionierendes Gegenbeispiel. Dann sollte @danke086 die Formulierung definitiv nochmal ändern.   ─   1+2=3 21.09.2020 um 21:46
So einen Satz zu formulieren ist relativ schwierig denke ich. Es gibt einen Satz darüber, wann eine Funktion überhaupt eine Stammfunktion besitzt (und sogar einen Algorithmus wie man auf sie kommt, falls sie existiert), aber da steig ich als Physiker aus. Das geht etwas sehr tief in die Thematik (und Mathematiker die sich damit nicht beschäftigen wahrscheinlich auch)   ─   gardylulz 21.09.2020 um 21:52

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