Potenzreihen

Aufrufe: 86     Aktiv: 01.07.2021 um 17:46

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Ich habe eine Frage zur Potenzreihendarstellung der Funktion 
f(x) = e^(sin(x^4)) -1 

Wie ich die Aufgabe angehe ist klar. Jedoch habe ich in den Lösungen bemerk, 
dass die entwicklung der inneren Funktion (also  sin(x^4)) beim zweiten Glied abgebrochen wurde und durch den Fehler O(x^20) 
ersetzt wurde. 

Dann wird in der ML (siehe zweites bild zweiter Schritt) mit der e Funktion weitergemacht. Jedoch wird der Fehler O(x^20) von oben dann einfach weggelassen. 
Wieso ist das so? evtl. weil x in der Aufgabe sowieso gegen null gehen soll? 


Die Vollständige aufgabe lautet: 





(Quelle: "Grundwissen Mathematikstudium", tilo Arens ua. seite 414)
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Beim Rechnen mit \(O(...)\) muss man immer dabei sagen "für \(x\to 0\)" (z.B.). Wird oft weggelassen, weil es meistens um \(x\to 0\) geht.
Und weggelassen ist es nur in der Schreibweise, in Wirklichkeit steckt es mit drin im \(O(x^{12})\), denn: \(O(x^{12})+O(x^{20})=O(x^{12})\) für \(x \to 0\). Die Schreibweisen mit \(O(..)\) sind sehr gewöhnungsbedürftig, es ist quasi ein Missbrauch des Gleichheitszeichens.
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also das bedeutet eigentlich wenn ich es genau mache, müsste ich wenn ich den sinus in die exp reihe einsetze den Fehler mitschreiben.

bezieht sich der fehler O(x^12) nicht nur auf die exp reihe?
also wie ist es möglich, dass ich den Fehler im sinus weglassen kann und er dann im Teil mit der E Reihe wieder auftaucht?
  ─   sebii2 01.07.2021 um 17:02

Da wird nichts weggelassen, nur zusammengefasst. Das sind die speziellen Eigenschaften der \(O(.)\)-Notation. Wir haben:
\(\sin (x^4)=x^4-\frac1{16}x^{12} + O(x^{20})\)
\(e^x-1=\sum\limits_{i=1}^\infty \frac{x^i}{i!} = x+\frac{x^2}2+O(x^3)\)
Damit ergibt sich: \(e^{\sin (x^4)}-1 = \sin (x^4) +\frac{(\sin(x^4))^2}2 + O((\sin(x^4)^3)=
x^4-\frac1{16}x^{12} + O(x^{20})+ \frac12 (x^4-\frac1{16}x^{12} + O(x^{20}))^2+O(x^{12})=x^4+O(x^{12})+O(x^{20}) + \frac12x^8+O(x^{16})+O(x^{12})=x^4+\frac12x^8+O(x^{12})\).
Das ist kein guter Moment, das Rechnen mit \(O(...)\) zu lernen, das sollte man vorher(!) an einfacheren Beispielen tun.
  ─   mikn 01.07.2021 um 17:43

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